Pulsresponsie en histogram

Figuur 1 geeft een voorbeeld van een responsie van een kubusvormige ruimte op een energiepuls. Het effect is berekend; er wordt gesuggereerd dat de pulsen afzonderlijk zichtbaar zijn. Aan het eind van dit hoofdstuk zal een voorbeeld worden gegeven van een meting. Dan zal ook blijken dat de berekende pulsresponsie helemaal niet kan worden gevonden.

 

Figuur 1: De berekende pulsresponsie op een energiepuls voor een kubusvormige ruimte van 10 × 10 × 10 m³.

De rode puls geeft het directe signaal; alle blauwe pulsen hebben minimaal één keer gereflecteerd. De energiepuls wordt uitgezonden door een geluidbron en geregistreerd door een mikrofoon die op 4 m afstand van de bron is gedacht. De eerste puls heeft dus 0.012 s (dus 12 ms) nodig om de mikrofoon te bereiken. Alle reflectiecoëfficiënten zijn 0.8.

De verticale as is logaritmisch gekozen omdat het menselijk oor ook logaritmisch werkt. De waarde van E₀ is daarbij gekozen als 10^-5 J. Eigenlijk is dat hier nog niet van belang; het gaat slecht om de onderlinge verhouding tussen de pulsen.

 

Twee eigenschappen vallen op aan de pulsresponsie:

·      De amplitude van de latere pulsen wordt steeds kleiner. Dat komt:

○      enerzijds omdat het geluid een langere weg heeft afgelegd,

○      anderzijds omdat het aantal reflecties toeneemt en bij iedere reflectie gaat wat energie verloren.

·      Het aantal pulsen per tijdseenheid (de dichtheid) neemt toe met de tijd.

 

De verticale as kan worden afgeleid uit de formules uit de voorgaande webpagina's.

        ,                                                                                        (1)

 

hetgeen kan worden genormeerd met de referentiedruk tot:

        ,                                                                                 (2)

 

waarin:

t       =  tijd  [s]

p      =  geluiddruk  [Pa]

p_ref    =  referentie geluiddruk, gelijk aan 2.10^-5  Pa.

r       =  afgelegde weg van een puls  [m]

r      =  soortelijke massa van lucht  [kg/m³]

c      =  geluidsnelheid  [m/s]

E₀    =  energie van de uitgezonden energiestoot  [J]

 

In figuur 1 is dan uitgezet:

        ,                                                                                             (3)

 

Als de energie wordt uitgezonden op t = t₀ geldt bovendien:

        ,                                                                                                           (4)

 

 

In figuur 2 wordt een pulsresponsie gegeven van een "niet-kubische" ruimte en voor een dubbele tijdsperiode (0.8 in plaats van 0.4 s). In deze figuur is een repeterende echo te zien. Als we een schatting maken van de tijdsafstand (dus ca. 65 ms) kan een afstand worden teruggerekend van 20 m, overeenkomend met de afstand tussen de kopse wanden.

 

 

Figuur 2:  De berekende pulsresponsie voor een ruimte van 20 × 8 × 5 m³. Alle reflectiecoëfficiënten zijn 0.8. Ditmaal is het directe geluid niet afzonderlijk gekleurd.

 

Door de toenemende dichtheid van de energiepulsen is de figuur van de pulsresponsie niet geschikt om de energie goed af te lezen. Daartoe worden de pulsen telkens samengeveegd in een interval met constante breedte. Daarbij worden uiteraard niet de dB’s uit figuur 2 opgeteld maar de onderliggende waarden vóór logaritmisering. Figuur 3 toont de energie zoals die uit figuur 2 is berekend [[1]]. Doordat het aantal pulsen toeneemt, is de afname van de geluidenergie in figuur 3 minder steil dan in figuur 2.

 

 

Figuur 3: De energie indien de pulsen uit figuur 2 telkens worden samengeveegd in een interval met vaste breedte van ongeveer 20 ms.

 

Zowel voor figuur 2 als voor figuur 3 wordt de term “echogram” gebruikt oewel ze dus wezenlijk verschillend zijn. In sommige ray-tracing programma’s wordt voor figuur 3 gesproken van een “histogram”. Dat is eigenlijk de meest correcte term en we zullen ons daaraan confirmeren.

 

De schroedercurve

Rond 1900 deed Wallace Sabine systematische proeven aan nagalm met behulp van orgelpijpen. De pijp produceert een constant niveau; de eigenlijke nagalmmeting wordt verricht als dat geluid wordt uitgeschakeld [[2]]. De navolgers van Sabine (dat zijn dus alle zaalakoestici van na 1900) gebruiken meestal geen orgelpijpen, maar een luidspreker die continue ruis produceert.

Echter, een ruissignaal is minder continu dan men denkt: er treden wel degelijk fluctuaties op en de nagalmcurven verschillen zichtbaar indien het proces bijvoorbeeld vier keer wordt herhaald. Dat bracht Manfred Schroeder ertoe om het gemeten signaal "achterwaarts" te integreren van oneindig naar de tijd t, waadoor vooral een veel nettere curve ontstaat [[3]]. Er ontstaat dan een tijdafhankelijke grootheid S:

       

 

 

Door de integratie doet het er niet toe of de curve van figuur 2 of 3 wordt gebruikt; ze geven hetzelfde resultaat. Als we figuur 3 als voorbeeld nemen is de schroedercurve niets anders dan het optellen van de energiepulsen, te beginnen aan het eind. Figuur 4 geeft een voorbeeld.

 

 

Figuur 4:  De schroedercurve (in rood) zoals berekend uit figuur 3. De laatste puls is het startpunt, dan worden daar achterwaarts steeds pulsen bij opgeteld, uiteraard voordat de schaal wordt gelogaritmiseerd.

 

Zoals te zien is verdwijnen de pulsen en schommelingen. De informatie uit figuur 3 is echter nog steeds aanwezig. Het laatste stuk van een schroedercurve (na ca. 0.7 s) is niet te vertrouwen. Om dat alsnog goed te krijgen is een langere meet- of rekentijd noodzakelijk[[4]].

 

Rekenen en meten

In feite staan in figuur 4 nu zowel de responsie op een pulsvormig signaal (in blauw) als de responsie op het uitschakelen van een continue bron in rood. Rekenmodellen die zalen kunnen doorrekenen leveren bij hun output dan ook figuren die sterk lijken op de figuren 2 en 4.

Echter, bij metingen wordt een iets andere weg gevolgd.

 

Figuur 5 toont een pulsresponsie die in een kerk is gemeten [[5]]. De figuur toont de responsie van de geluiddruk op een drukpuls[[6]], waarbij positieve en negatieve waarden voorkomen. Er kan een geluidenergie van worden gemaakt (zoals in rekenmodellen) door het signaal te kwadrateren; daarmee verdwijnen automatisch de negatieve waarden. Er is dan echter geen sprake van afzonderlijk zichtbare energiepulsen, zoals die in figuur 1 en 2 in beeld worden gebracht. Dat komt vooral omdat de berekende pulsen oneindig kort zijn, terwijl gemeten pulsen altijd een minimale breedte hebben. Ze lopen daarom in elkaar over.

 

 

Figuur 5:  Een pulsresponsie van de geluiddruk zoals gemeten in een kerk met een nagalmtijd van ongeveer 7 s.

 

Het samenvegen van alle energie in vaste tijdintervallen wordt geschetst in het voorbeeld van figuur 6 [[7]]. De breedte van de intervallen is in dit geval 2 ms. Uit figuur 6 wordt dan via een integratie weer een schroedercurve afgeleid die is getekend in figuur 7.

 

 

Figuur 6:  Een histogram verkregen door het integreren van de energie in vaste tijdintervallen. De breedte van het interval is ongeveer 2 ms. Er zou weer, net als in figuur 3, een staafdiagram kunnen worden getekend, maar dat schept bij smalle intervallen slechts verwarring. De leesbaarheid wordt beter door de toppen van de staven met een lijn te verbinden.

 

 

Figuur 7:  De schroedercurve berekend uit het histogram van figuur 6. Let op de verdubbelde tijdas t.o.v. figuur 6. Het histogram loopt van 0 tot 2.75 s, maar dat is niet in beeld gebracht. Het inzakken van de curve boven 2.4 s wordt daardoor verklaard.

 

Wanneer welke curve?

De allereerste curven van Sabine leken vooral op figuur 7, maar er was één principoeel verschil: de schroedercurve is door de integratie per definitie monotoon dalend terwijl oudere curven veel meer slingerden en veel minder mooi reproduceerden. Daarom juist heet Schroeder zijn curve uitgedacht. De curve uit figuur is ook ideaal om er een nagalmtijd uit te bepalen, waarop we in het volgende deel dieper zullen ingaan [[8]].

De schroedercurve is echter niet geschikt voor "echo-hunting". Figuren 5 en 6 tonen een knalharde echo rond 0.20 s. Die komt in dit geval van de achterwand van de kerk [[9]]. De echo is met wat moeite ook in figuur 7 te zien, maar figuur 6 is natuurlijk veel handiger.

Echo-hunting is met name van belang in zalen voor muziek en in dat geval zal figuur 6 een belangrijke taak verrichten.

 

 

vorige     theoriedeel     volgende