Energieverliezen bij geluidvoortplanting

In het voorgaande theoriedeel over de nagalmtijd hebben we afgeleid hoe geluid uitklinkt in een galmende ruimte. Dat was het eenvoudigste te illustreren met een pulsvormig geluid, een klap in de handen bijvoorbeeld. Het uitklinken wordt veroorzaakt door energieverlies; indien nergens in het systeem geluidenergie in warmte wordt omgezet, zou het geluid eeuwig te horen zijn.

Bij de afleiding van de nagalmtijd werd het energieverlies uitsluitend veroorzaakt door absorptie van de wanden. Maar er is in de praktijk nog een fenomeen dat voor energieverlies zorg draagt: de onderlinge wrijving van de trillende moleculen in de lucht. Het wordt daarom "luchtabsorptie" genoemd. Bij nader onderzoek blijkt de wrijving vooral te worden veroorzaakt door de watermoleculen die altijd aanwezig zijn in gewone lucht; droging van de lucht brengt het effect drastisch omlaag. De alternatieve term "vochtabsorptie" komt daarom in het spraakgebruik ook vaak voor.

 

Luchtabsorptie als functie van de afstand en de frekwentie

Het verlies door luchtabsorptie blijkt toe te nemen met de afstand. We zullen hier niet dieper ingaan op de theorie achter het fenomeen [[1], [2]], maar poneren slechts de formule. Dan blijkt het geluidvermogen exponentieel af te nemen met de afstand x, zodat het kwadraat van de geluiddruk p op afstand x kan worden geschreven als:

        .                                                                                   (1)

 

De grootheid m, die dus de afname vertegenwoordigt, blijkt voor het overgrote deel afhankelijk van de relatieve vochtigheid van de lucht en de frekwentie van het geluid. De luchttemperatuur is ook onderdeel van de (empirische) formules, maar speelt nauwelijks een rol indien we ons beperken tot het gebied tussen 15 en 30 graden celsius.

 

Formule (1) kan op de gebruikelijke manier (via een 10log) worden omgeschreven tot het geluiddrukniveau L_p in dB:

        ,                                                                      (2)

 

hetgeen kan worden geschreven als: 

        ,                                                                                      (3)

 

De luchtabsorptie in dB blijkt dus recht evenredig met afstand.

 

Formule (3) zullen we iets ander schrijven. Daartoe definiëren we: 

        ,                                                                                                       (4)

 

waarna formule (3) overgaat in: 

        .                                                                                              (5)

 

Dan wordt ook duidelijk waarom g is ingevoerd, want die geeft nu de demping in dB/m. Figuur 1 geeft een uitdraai van de formules voor g zoals die zijn vastgelegd in een normblad [[3]] voor vier verschillende waarden van de relatieve vochtigheid [[4]].

 

 

Figuur 1:  De dempingsfactor g in dB/m als functie van de frekwentie bij vier waarden van de relatieve vochtigheid in procenten. De temperatuur is gelijk aan 20 graden celsius.

Om de waarden van m te vinden moeten de getallen langs de verticale as door 4.34 worden gedeeld.

 

Figuur 1 laat zien dat g en de relatieve vochtigheid een enigszins gecompliceerd verband hebben: bij ieder frekwentiegebied hoort een ander maximum van de relatieve vochtigheid. Als functie van de frekwentie zien we een zeer sterke toename met oplopende frekwentie. Bij 1000 Hz en 70% is de demping 0.005 dB/m, bij 10 000 Hz is dat opgelopen tot 0.12 dB/m, dus meer dan het twintigvoudige.

 

Is het effect ook merkbaar?

In de buitenlucht kan het effect van groot belang zijn. Bij een afstand van 1 km is de reductie 5 dB, maar op 8 km stijgt dat tot 40 dB. Luchtabsorptie redt ons bijvoorbeeld van een heleboel vliegtuiglawaai.

In een schoolklas met een nagalmtijd van 0.5 s is de loopweg gelijk aan 170 m als t gelijk is aan de nagalmtijd. Bij 4 kHz is de demping dan 3.9 dB. Boven die frekwentie is de demping veel hoger, maar daar liggen niet de belangrijkste spraakfrekwenties. Het effect mag dus gevoeglijk worden verwaarloosd.

Echter, in een concertzaal met een galmstaart van 2 sec vinden we een loopweg van 680 m en bovendien zijn de frekwenties van 8 en 16 kHz daar belangrijker. We vinden dan (bij 70% vochtigheid) respectievelijk 53 en 191 dB demping. Als we dat vergelijken met de 60 dB afval van de nagalmtijd, wordt de afval dus ongeveer verdubbeld bij 8 kHz, terwijl bij 16 kHz de nagalm verre in het niet valt bij de luchtabsorptie.

 

Herberekening van de nagalmtijd inclusief luchtabsorptie

In de voorgaande webpagina over de nagalmtijd was de uitklinkcurve van een pulsvormig geluid geschreven als: 

        ,                                                                               (6a)

 

waarin: 

        .                                                                                                (6b)

 

Hierin geldt:

t       = looptijd

r      = soortelijke massa van lucht

c      = geluidsnelheid in lucht

E₀    = de energie van de geluidpuls

V     = volume van de ruimte

S     = totale oppervlak van wanden, plafond, etc.

R     = gemiddelde reflectiecoëfficiënt van de wanden

 

De index "eyr" slaat op de afleiding van Eyring, die (theoretisch gezien) superieur bleek boven die van Sabine. Toch gaan we hier over op de Sabine-waarde, vooral omdat later zal blijken dat die veel meer wordt gebruikt bij metingen. We schrijven dan: 

        ,                                                                                          (7)

 

hetgeen geoorloofd is bij relatief lage waarden van de absorptiecoëfficiënt a. Dan vinden we dus in plaats van formule (6b): 

        .                                                                                                      (8)

 

 

Nu wordt aan formule (6a) de luchtabsorptie uit formule (1) toegevoegd: 

        ,                                                             (9)

 

waarbij we dus van de afstand x uit formule (1) zijn overgegaan op de tijd t via de geluidsnelheid c. We kunnen nu dus een gecombineerde dempingsterm b_tot schrijven als: 

        .                                                                           (10)

 

Om hieruit de nagalmtijd te berekenen over 60 dB, grijpen we terug op de voorgaande webpagina. Er gold en geldt: 

        ,                                                                                       (11)

 

hetgeen, na invulling van vergelijking (10), overgaat in: 

        ,                                                            (12a)

 

waarin de factor 0.16 weer geldt bij kamertemperatuur als c = 343 m/s.

 

Indien we een waarde hanteren in dB/m, boven aangeduid met g en uitgezet in figuur1, vinden we een coëfficiënt die 4.34 maal zo groot is: 

        .                                                                                   (12b)

 

Formule (12a) wordt het meest gebruikt in de literatuur, maar formule (12b) is net wat handiger omdat de gebruikelijke rekenmodellen het antwoord geven in dB/m, hetgeen dus rechtstreeks in de formule kan worden ingevuld.

 

Aangepaste absorptiecoëfficiënt

Uitgaande van formule (10) kan ook worden gewerkt met een soort aangepaste formule van de absorptiecoëfficiënt: 

        ,                                                                                              (13)

 

Dit is eigenlijk de grootheid die in het overgrote deel van deze site wordt toegepast; we bekommeren ons vooral om het totale effect als we eisen stellen aan een minimale waarde van de absorptiecoëfficiënt. In een groot aantal ruimten (een klaslokaal of een restaurant bijvoorbeeld) doet de tweede term ook nauwelijks ter zake.

Echter, een onderscheid tussen de twee effecten moet, vooral in grotere zalen, wel degelijk worden gemaakt indien een architect specifieke materialen wil bestellen. In de opgaven van de fabrikant worden nl. de "echte" absorptiecoëfficiënt α vermeld. Dat moet ook wel, want pas als de afmetingen van de ruimte (V en S) bekend zijn kan de totale waarde α_tot worden becijferd. Die totale waarde a_tot wordt vervolgens altijd (iets) groter dan a. Dat kan een prettig effect zijn (in een groot restaurant of een sportzaal bijvoorbeeld), maar soms kan dit effect ongewild zijn (in een concertzaal).

 

De conventies in deze site

In deze site staan nogal wat berekeningen waarbij "de" absorptiecoëfficiënt wordt gebruikt. Daarbij wordt steeds α_tot bedoeld. Als dan na een berekening bijvoorbeeld plafondplaten moeten worden besteld bij een fabrikant, moet de waarde van α opgegeven. Die is altijd lager, maar in de dagelijkse praktijk zijn de verschillen marginaal. Slechts bij grote ruimten (een sporthal of een concertzaal) bestaan significante verschillen en dan ook nog vanaf 4000 Hz. Als we uitgaan van de gebruikelijke spraakfrekwenties van 500 en 2000 Hz en de gebruikelijke ruimten (een schoolklas, een restaurant of een sportzaal van gemiddelde afmetingen) kunnen we het verschil tussen beide waarden verwaarlozen.

 

 

vorige    theoriedeel   volgende