Korte inhoud van het voorafgaande

In een voorgaande webpagina (B.10.1, Formule geluiddrukniveau) is het geluiddrukniveau in een ruimte afgeleid als:

                                                                              (1)

 

met:

L_W    = het akoestisch vermogenniveau van de bron,

r       = de afstand tussen bron en mikrofoon,

Q     = de richtingscoëfficiënt van de bron,

a      = de gemiddelde absorptiecoëfficiënt van de gehele ruimte,

A     =  het totaal absorberend oppervlak.

 

De rechterkant van de formule bevat twee termen waarvan de eerste het directe geluid vertegenwoordigt. De sterkte is onafhankelijk van de ruimte, maar wordt wel steeds lager indien de afstand toeneemt. De tweede term hangt juist uitsluitend af van de gegevens van de ruimte en niet van de afstand. Figuur 1 toont de twee termen plus hun logaritmische som.

 

Figuur 1:  De curven uit formule (1). De rode curve geldt indien alleen de eerste term wordt meegerekend, de groene curve is voor de tweede term. Indien biede termen worden opgeteld ontstaat de zwarte curve.

 

 

Strijdigheid van theorie en praktijk

Zoals elders geteld is de zwarte curve uit figuur 1 strijdig met de alledaagse ervaring. Thans zullen we een herberekening uitvoeren teneinde de theorie van Barron nader te verklaren [[1]].

 

In de figuur staat de responsie van de zaal op een puls. Eerst komt het (rode) direct bij de toehoorder binnen, dan het galmveld. Zie daartoe webpagina B.10.1 Geluiddrukniveau.

 

Figuur 1:  Het model waarbij eerst de directe energie de mikrofoon bereikt en vervolgens de reflecties van de wanden de mikrofoon bereiken.

 

De bijbehorende formule voor het geluiddrukniveau werd daar geschreven als:

        ,                                                   (2)

 

Formule (1) is een uitwerking van formule (2). De eerste term binnen de haakjes is precies gelijk in beide formules. De tweede term in formule (1) wordt gevonden als in formule (2) een paar substituties worden uitgevoerd.

Allereerst geldt:

        ,                                                                                         (3a)

 

en voor de gemiddelde vrije weglengte mfp:

        ,                                                                                                       (3b)

 

 

De aanpak om formules (3a) en (3b) in formule 2 te substitueren stamt uit de jaren dertig van de vorige eeuw. De grootheid t_dir in figuur 1 is dus eigenlijk variabel gekozen en afhankelijk van de afstand r tussen bron en mikrofoon, maar t₀ was dusdanig gekozen dat de bijbehorende afstand gelijk was aan de gemiddelde vrije weglengte mfp, waardoor een vrij simpel verband ontstaat:

                                                                                                    (4)

 

en formule (2) overgaat in formule (1).

 

Nu kiest Barron voor de grootheid t_o simpelweg de looptijd tussen bron en mikrofoon:

        ,                                                                                                              (5)

 

zodat formule (3a) overgaat in:

                                                                                            (5)

 

De vervanger van formule (1) wordt dus:

        ,                                                             (6)

 

zodat nu ook de tweede term van de afstand afhangt.

Zoals het hoort zijn de twee formules (1) en (6) gelijk indien r = mfp. Het is interessant om te zien dat voor r = 0 geldt:

        ,                                                                             (7)

 

In feite is het model uit figuur 1 te tekenen als in figuur 2, waarin dus de aanvang van het galmveld samenvalt met het direct. Er ontbreekt dus wat ruimte tussen direct en galm. In de praktijk klopt dat eigenlijk ook altijd wel. De reflecties van vloer, stoelen, tafels, e.d. komen altijd vlak na het direct. Slechts in rekenmodellen is een scheiding terug te vinden.

 

Figuur 2:  In Barron's model vallen de aankomst van direct eerste reflecties samen.

 

 

Barron's eigen schrijfwijze

In de literatuur zijn er verschillende manieren waarop de formule kan worden geschreven. We kunnen immers ook schrijven:

        ,                                                                                                    (8a)

 

waardoor:

        ,                                                                             (8a)

 

en formule (6) overgaat in:

        ,                                                      (9)

 

Dit is Barron's eigen formule waarbij eigenlijk in het midden wordt gelaten of Eyring's dan wel Sabine's nagalmtijd moet worden genomen. Onze afleiding is expliciet gebaseerd op de nagalmtijd van Eyring.

 

Consequenties voor de praktijk, een voorbeeld

In figuur 3 wordt een voorbeeld uitgewerkt door formule (9) uit te zetten als functie van de afstand. Daarbij worden twee situaties doorgerekend voor een laag en een hoog plafond. De geometrische gegevens staan in tabel 1.

Tabel 1: Een vergelijking van twee ruimten met hetzelfde vloeroppervlak maar een sterk verschillende hoogte.

 

 

Figuur 3: Het geluiddrukniveau in een ruimte van 20 × 20  × 3.5 m³, links en in een ruimte waarin de hoogte veel groter is: 20 × 20 × 10 m³. De zwarte curven geven de klassieke theorie volgens formule (1); de rode curven staan voor Barron's theorie, formules (6) of (9).

 

De allereerste regel die we afleiden is: bij lage absorptiecoeëfficiënten is de invloed van Barron's aanpassing uiterst gering. De verschillen bij 8% tussen de Barroncurven en de conventionele theorie blijven beperkt tot hooguit twee dB. Bij hogere absorptiecoëfficiënten (32%) treden er ineens wel verschillen op.

Indien een ruimte hoger wordt, bij gelijkblijvende gemiddelde absorptiecoëfficiënt [[2]], stijgt het geometrisch oppervlak en daardoor het absorberend oppervlak A. De tweede term in formule (9) wordt daardoor kleiner. Dat gold trouwens ook al in formule (1); ook in de klassieke theorie wordt het geluiddrukniveau lager. Dat is te zien aan de verticale waarde van de zwarte curven, die links hoger liggen dan rechts.

 

In de grotere zaal is ook de gemiddelde vrije weglengte mfp groter. Dat betekent dat de invloed van Barron's theorie daar pas op grotere afstand begint door te werken. In de linker figuur is de rode curve dus lager dan de zwarte boven ca. 6 m; in de rechter figuur geldt dat boven 12 m [[3]]. De rechter situatie hoort meer bij een muziekzaal, inclusief de twee dB verschil op de achterste rij die Barron zelf rapporteerde voor zalen. De linker figuur hoort veel meer bij bijvoorbeeld een restaurant. De vijf dB verschil op grotere afstand van de bron tussen de klassieke theorie en Barron is dan vaak een zegen.

 

 

vorige     theoriedeel     volgende