Inleiding

In het voorgaande deel werden twee problemen van rechthoekige ruimten genoemd:

 

• De geluidniveaus zijn hoger dan voorspeld door de theorie,

• De nagalmcurve wijkt af van de voorspelde rechte lijn, waardoor de nagalmtijden anders zijn dan voorspeld.

 

Het eerste onderwerp is daar reeds behandeld; thans komen de eigenlijke nagalmcurven aan de beurt, waarbij we vooral zullen zien dat de curven afwijken van een rechte lijn, waarbij ze steeds "doorzakken", d.w.z. dat ze (per definitie ? [[1]]) een hol concaaf verloop hebben.

 

Het spiegelbronnenmodel in één dimensie

In de zaalakoestiek wordt met vrucht gebruik gemaakt van het speigelbronnenmodel. Daarbij wordt een ruimte verondersteld waarvan de wanden vlakke spiegels zijn. Voor de lage frekwenties voldoet het model niet omdat de golflengte van het geluid dan te groot is in verhouding tot de afmetingen van de spiegelende wanden. Voor hoge frekwenties gaat dit bezwaar niet op. Alle ray-tracing-modellen zijn op dit principe gebaseerd. Zij sturen stralen geluidstralen vanuit de bron alsof het lichtstralen zijn en geven dus per definitie een hoogfrekwente benadering. We zullen dat model thans gebruiken voor het allersimpelste geval:  twee oneindig grote evenwijdige vlakken op een afstand L. Verder veronderstellen we dat beide vlakken dezelfde reflectiecoëfficiënt R hebben. Figuur 1 geeft de situatie.

Midden tussen de zwart getekende vlakken veronderstellen we een geluidbron die niet is getekend. De mikrofoon wordt ook in het midden gekozen, maar ontbreekt ook in de tekening.

 

Figuur 1:  Mogelijke spiegelbronnen bij twee evenwijdige vlakken. De eigenlijke bron en de mikrofoon zijn niet getekend, maar moeten precies in het midden worden gedacht. Uiteraard kunnen bron en mikrofoon eigenlijk niet op dezelfde plaats staan.

 

De spiegelbron S₃ met drie reflecties wordt als voorbeeld genomen. Die heeft een afstand 3L tot de mirkofoon. De bijdrage van die bron aan het kwadraat van de geluiddruk is uitgebreid in een voorgaand deel aan de orde geweest en wordt hier geschreven als: 

          .                                                                                                       (1)

 

met:

r      =      dichtheid van lucht

c      =      geluidsnelheid

W₀   =      continu vermogen van de bron

R     =      de reflectiecoëfficiënt van beide wanden [[2]]

 

In de voorbeelden wordt nogal eens gewerkt met W₀ = 10 mW (sic), hetgeen ongeveer overeenkomt met menselijke spraak op "normaal" niveau: L_W = 70 dB (re 1pW). De waarde van W₀ doet er overigens nauwelijks toe omdat het verder steeds over verhoudingen gaat.

 

Bij een continue situatie staan alle bronnen "aan". De totale sterkte kan dan worden geschreven als: 

          ,                                                  (2)

 

waarbij de factor 2 verschijnt omdat zowel links als rechts bronnen gespiegeld zijn in een symmetrisch systeem [[3]]. Verder wordt weer verondersteld dat de geluiddrukken kwadratisch mag worden opgeteld zodat fase-effecten (die zorgen voor staande golven) afwezig zijn.

Merk op dat in deze berekening de bijdrage van het directe geluid is weggelaten.

 

Als een continu geluid wordt uitgeschakeld, ontstaat de "schroedercurve" van figuur 2. Eerst dooft de spiegelbron op afstand L uit, dan die op 2L, 3L, enz, waardoor het geluidniveau steeds lager wordt. We ervaren dit als nagalm.

Figuur 2: De nagalmcurve (schroedercurve) indien een continue bron wordt uitgeschakeld in de situatie uit figuur 1. De afstand L = 10m. De stappen liggen dus 0.029 s uit elkaar. Het directe geluid doet niet mee.

 

In de figuur zijn twee grootheden af te lezen:

 

• De helling van de curve bepaalt de nagalmtijd.

• Maar de curve is helemaal geen rechte, ook niet als we de trapjes in de curve negeren. Als een nagalmtijd uit de helling moet worden afgeleid is dus van belang in welk interval dat geschiedt.

• De waarde op tijdstip t = 0 bepaalt de energie van het galmveld. In dit geval is dat 42.3 dB [[4]].

 

De invloed van de afstand tussen twee vlakken in het 1D-geval

Als we in figuur 1 de afstand L variëren en vervolgens de nagalmcurve in beeld brengen, zien we een fascinerend fenomeen, dat geïllustreerd wordt in figuur 3.

Figuur 3: Twee nagalmcurven (schroedercurven) voor een situatie als figuur 1. De blauwe lijn is voor L = 10 m; de rode lijn is voor L = 2.5 m.

De energie in de totale galm is 54.4 (rode curve) en 42.3 dB (blauwe curve). De reflectiecoëfficiënt is in beide gevallen 0.8.

 

De blauwe curve geeft hetzelfde geval als figuur 3 waar L gelijk was aan 10 m. De blauwe stippellijn vinden we als die maat wordt verkleind tot 2.5 m.

Als L kleiner wordt, daalt de afstand tussen de spiegelbronnen. Als een continu signaal op de bronnen wordt gezet is de totale energie daardoor hoger (formule 2, waar L in de noemer staat). Echter, als de continue bron wordt uitgezet dempen de reflecties door de kleinere afstand L sneller uit. Als we dus de afstanden 10 en 2.5 vergelijken (zoals in figuur 3) blijken de twee curven elkaar te snijden.

Op zich is dit effect overbekend. In drie dimensies betekent een grotere ruimte (bij gelijkblijvende reflectiecoëfficiënt) een langere nagalmtijd; een kathedraal galmt meer dan een huiskamer. Maar het geluidniveau van een spreker is in de kathedraal lager.

 

Een rechthoek met homogene absorptieverdeling

Figuur 4 toont een voorbeeld in twee dimensies van een rechthoek die niet vierkant is. We nemen aan dat weer L = 10 en B = 2.5 m.

 

Figuur 4:  Mogelijke spiegelbronnen bij een tweedimensionale rechthoek.

 

Figuur 5 toont drie curven. De blauwe en rode curve waren al getekend in figuur 3 voor de eendimensionale gevallen waarin ook alleen de blauwe en rode spiegelbronnen zijn meegerekend. De zwarte curve rekent alle spiegelbronnen mee. Het aantal spiegelbronnen in de vier kwadranten (zwart getekend) is nu veel groter dan de blauwe en/of de rode zodat de zwarte bronnen het beeld bepalen. Het tweedimensionale geval is dan ook zeker geen optelling van de twee eendimensionale gevallen. Echter, de eendimensionale curven blijven wel degelijk zichtbaar.

Figuur 5: Twee nagalmcurven (schroedercurven) voor een situatie als in figuur 4. De rode lijn is voor het eendimensionale geval met afstand 2.5 m; de blauwe lijn is voor een afstand van 10 m.

De bovenste zwarte lijn representeert de tweedimensionale rechthoek met L = 10 m en B = 2.5 m. De reflectiecoëfficiënt is in alle gevallen 0.8.

 

In figuur 5 zien we de volgende effecten:

 

• De totale energie in de galm, af te lezen op tijstip t = 0, wordt voor het grootste deel bepaald door de breedte B = 2.5 m. De zwarte lijn is slechts een beetje hoger dan de rode.

• De nagalm wordt officieel bepaald door het trekken van de helling tussen L_max-5 en L_max-25. Dat deel wordt juist in aanzienlijke mate bepaald door de blauwe lijn met lengte L = 10.

• De belangrijkste consequentie is dat het nu uitmaakt waar absorptiemateriaal wordt aangebracht. Indien lawaai moet worden bestreden (en spraakverstaanbaarheid verbeterd) kan het beste de rode curve worden aangepakt, als excessieve galm moet worden bestreden moeten we ons op de blauwe lijn concentreren. We zullen dat later uitgebreider uitleggen.

 

Een kubus met homogene absorptieverdeling

In een kubus, bijvoorbeeld van 10 ´ 10 ´ 10 m³, worden ook nog eens acht octanten met spiegelbronnen toegevoegd. Dat voert allereerst het aantal bronnen op waardoor het geluiddrukniveau (bij t = 0) toeneemt. In de figuur is te zien dat het geluidniveau stijgt van 42.3 tot 53.9 dB als van 1D naar 3D wordt overgegaan.

Het zijn echter juist de "verre" bronnen die in aantal toenemen en daardoor vindt het uitklinken van de nagalmcurve veel minder snel plaats dan in het eendimensionale geval. Het resultaat staat in figuur 6.

Figuur 6: De nagalmcurve (schroedercurve) indien een continue bron wordt uitgeschakeld in de eendimensionale situatie uit figuur 3 met afstand 10 m (blauwe lijn), en in een kubus van 10 × 10 × 10 m³  (rode lijn). Alle reflectiecoëfficiënten zijn 0.8.

 

Door de overgang van 1D naar 3D is ook het holle karakter van de eendimensionale nagalmcurve verdwenen. Volgens Sabine’s theorie en de het spiegelbronnenmodel is de nagalmcurve een rechte. Als heel goed naar de rode lijn wordt gekeken zien we dat dat niet helemaal waar is, maar voor de praktijk is de afwijking verwaarloosbaar.

De bepaling van de nagalmtijd uit de 1D-curve hangt af van het traject waarlangs een rechte wordt gefit, maar globaal kan worden gesteld dat de 1D-nagalmtijd de helft is van de 3D-nagalmtijd.

 

De reflectiecoëfficiënt in relatie tot de afstand in één dimensie

Tot nu toe is in alle voorbeelden steeds dezelfde reflectiecoëfficiënt gekozen: R = 0.8; alleen de lengte L werd gevarieerd. Figuur 7 laat twee curven zien als R wordt gevarieerd (0.8 en 0.6) bij dezelfde afstand L = 10 m. Het gaat hier weer om het eendimensionale geval.

Figuur7: Twee nagalmcurven in 1D (schroedercurven) bij variërende reflectie. De blauwe lijn is voor het eendimensionale geval met afstand 10 m en R = 0.8. De rode doorgetrokken lijn is ook bij L = 10, maar nu is de reflectiecoëfficiënt gelijk aan R = 0.6.

 

Deze figuur mag gevoegelijk een "open deur" worden genoemd. Ook Sabine wist reeds dat toevoeging van absorptie (dus hier van 20% naar 40%) zowel het geluiddrukniveau als de nagalmtijd doet afnemen.

De figuur dient dan ook vooral ter inleiding van de gevallen waarin R en L tegelijkertijd worden gewijzigd. We keren daartoe terug naar formule (1) waarin de derde reflectie wordt bezien.

          .                                                                                        (1  herhaling)

 

 

Stel nu dat L in eerste instantie gelijk is aan 10 m. We voegen nu een index toe, zodat R overgaat in R₁₀. Verder nemen we niet de derde reflectie maar de negende. De formule wordt dan geschreven als:

          .                                                                                                      (4)

 

 

Nu berekenen we een tweede curve waarvoor L gelijk is aan 30 m in plaats van 10 m. Dan komt de derde reflectie bij 30 m net zo laat binnen als de negende bij 10 m. Dit kan geschreven als:

          .                                                                                                     (5)

 

 

Nu staat in de noemer van formules (4) en (5) precies hetzelfde. Ook de tellers kunnen gelijk worden gemaakt indien:

          ,                                                                                                                 (6)

 

hetgeen ook algemener kan worden geschreven omdat het aantal reflecties omgekeerd evenredig is met de afstand L:

          ,                                                                                                             (7)

 

Als nu de bij 10 m R₁₀ gelijk wordt gekozen aan 0.8, volgt daaruit R₃₀ = 0.51, omdat geldt:

                                                                                                               (8)

 

De schroedercurven voor beide gevallen staan getekend in figuur 8.

Figuur 8: Twee nagalmcurven (schroedercurven) met een gelijk verloop. De blauwe lijn is voor het eendimensionale geval met afstand 10 m en R = 0.8. De helling van de rode doorgetrokken lijn is berekend met L = 30 m. Om de helling gelijk te maken moet dan een absorptiecoëfficiënt worden gekozen van R = 0.51.

 

We zien in de figuur dat de helling een overeenkomstig verloop heeft. De hoogte van de curve is essentieel anders. In het geval met 30 m is namelijk het aantal spiegelbronnen ook drie maal zo klein zodat de totale energie kleiner is. Volgens formule (2) is (bij gelijke helling) de grootheid R/L² maatgevend voor de sterkte. Die waarden zijn respectievelijk 0.008 en 0.00057 bij 10 en 30 m, zodat het verschil 11.5 dB bedraagt. Dat klopt met de curven uit figuur 8 voor t = 0.

 

Het is niet mogelijk [[5]] om R en L zodanig te manipuleren dat zowel de galmsterkte als de nagalmtijd gelijk worden. Sabine’s theorie gaat daarom alleen op in een echte kubus met een homogene verdeling van de absorptie door de ruimte.

Op de mogelijkheid om galm en niveau te manipuleren in ruimten in de praktijk komen we terug in een volgend theoriedeel. Ddaarvoor wordt, in het volgende theoriedeel, ingegaan wat "de" nagalmtijd eigenlijk is. De kromme curve zoals die in figuur 5 manifest was stelt ons nl. voor ernstige problemen.

 

 

vorige     theoriedeel     volgende