1.    De nagalmtijd volgens het spiegelbronnen- en het ray-tracing-model

1.1   De nagalmtijd bij concave curven

In het voorgaande deel is, aan de hand van eendimensionale gevallen, uitgelegd waarom afwijkingen van de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger (SFJ-theorie) optreden bij de berekening van het geluiddrukniveau en vooral ook waarom de curven "doorzakken", dus afwijken van een rechte lijn. In dit deel zullen we de nagalmcurven nader onder de loep nemen.

 

Figuur 1 geeft de nagalmcurven die met een spiegelbronnenmodel zijn berekend. Er is gerekend met drie ruimten. De rode curve geeft een kubus van 8 ´ 8 ´ 8 m³, vervolgens wordt de lengte tweemaal zo groot en de hoogte tweemaal zo klein (blauwe curve) en dit wordt nog eens herhaald voor de groene curve [[1]]. De reflectiecoëfficiënt van alle wanden is 0.8 (absoprtie dus 20%).

 

Figuur 1:   Nagalmcurven van drie ruimtevormen. R = 0.8.

 

Volgens de SFJ-theorie is een nagalmcurve een rechte. Geen van de drie rechte lijnen voldoet daaraan; ook de rode curve voor een kubus is concaaf al zijn de afwijkingen zeer gering. In de praktijk trok men vroeger een rechte lijn met een liniaal en een potlood; tegenwoordig moet dat van de normbladen met behulp van een statistische regressielijn. Die methode staat uitgelegd in figuur 2. Daar wordt getracht om een nagalmtijd RT-5-25 te berekenen voor de 32-8-2-lijn uit de voorgaande figuur.

 

Figuur 2:  De nagalmtijd tussen -5 en -25 dB moet worden berekend via statistische regressie in dat interval. De gevonden nagalmtijd is hier 1.9 s.

 

De werkwijze is als volgt:

 

• Bereken de maximale waarde L_max op het tijdstip t = 0,

• Bereken hieruit de waarden L_max-5 en L_max-25 die dus respectievelijk 5 en 25 dB lager zijn.

• Bereken hieruit de bijbehorende tijdstippen t₁ en t₂.

• Kies nu alleen het deel van de nagalmcurve tussen t₁ en t₂

• Bereken de helling van de curve via statistische regressie; dat is dus de rode curve in de figuur.

• Bereken de nagalmtijd uit de gevonden helling.

 

De groene curve in figuur 2 is een beetje hobbelig door de vorm van de ruimte. Dat is slechts een klein bezwaar, want de statistische correlatiecoëfficiënten blijven meestal ruim boven de 95%.

Een veel groter bezwaar vinden we terug in figuur 3. Doordat de curve zo sterk concaaf is, hangt de helling van de regressielijn af van het gekozen interval.

 

Figuur 3:  De nagalmtijd voor drie verschillende intervallen.

De rode lijn is tussen 0 en -10 dB, de blauwe geldt tussen -5 en -25 dB, de groene geldt tussen -5 en -35 dB. De bijbehorende nagalmtijden zijn respectievelijk 0.90, 1.64 en 2.49 s. De nagalmtijd berekend volgens de SFJ-theorie is 0.62 s.

 

In de figuur staan drie "officiële" nagalmcurven: EDT (tussen 0 en -10 dB), RT_5_25  (tussen -5 en -35 dB) en RT_5_35 (tussen -5 en -35 dB). En daarmee komen we aan het grootste probleem: de berekende waarden in dit voorbeeld verschillen sterk: 0.90, 1.64 en 2.49 s. De nagalmtijd die volgens de SFJ-methode wordt gevonden is slechts 0.62 s.

In de 8-8-8-kubus is de nagalmtijd volgens SFJ gelijk aan 1.08 s. De waarde na curve-fitting voor de nagalmtijd tussen -5 en -25 dB is een spoortje korter: 1.02 s.

 

Van de 8-8-8-kubus naar de 32-8-2-rechthoek zien we dus twee effecten:

 

• De SFJ-nagalmtijd wordt in de rechthoek korter; van 1.08 naar 0.62. Dat komt doordat in een 32-8-2 ruimte het geometrisch oppervlak, en daarmee het absorberend oppervlak veel groter is dan in een 8-8-8-kubus. Het spiegelbronnenmodel voorspelt echter een toename van de nagalmtijd. Tussen -5 en -25 stijgt de tijd van 1.02 naar 1.64 s.

• "De" nagalmtijd bestaat wel min of meer in een kubus, maar niet in een rechthoekige ruimte. De keuze van het interval speelt een belangrijke rol.

 

1.2   Verstrooiing en inhomogene absorptieverdeling

Het spiegelbronnenmodel waarmee de voorgaande curven zijn uitgerekend rekent met ideale spiegeling: hoek van inval = hoek van reflectie. Met een ray-tracing-model kan daar verstrooiing van de wanden aan worden toegevoegd. Een voorbeeld staat in figuur 4.

In de figuur staan de nagalmcurven voor een ruimte van 32 ´ 8 ´ 2 m³. In de linker figuur hebben alle oppervlakken een absorptiecoëfficiënt van 20% (R = 0.8). In de rechter figuur is de absorptie meer verdeeld zoals men in de praktijk kan tegenkomen.

 

Figuur 4: Berekening van de nagalmcurven met behulp van CattAcoustic. De diffusiecoëfficiënten variëren volgens opgave in de figuur; ze zijn voor alle wanden gelijk [[2]].

Links is het homogene geval waarbij alle oppervlakken 20% absorptie hebben. In de rechter figuur heeft de vloer  5 % absorptie en het plafond 40%. Om aan een gemiddelde waarde van 20% absorptie te komen hebben de wanden 12% absorptie.

 

De volgende conclusies kunnen uit de figuren worden getrokken:

 

• De helling over de eerste 5 dB blijft vrijwel constant. Over 10 dB verval nemen de verschillen wel toe, maar EDT is dus niet zo gevoelig voor wijzigingen in de situatie.

• De curven in de rechter figuur liggen hoger dan in de linker. Dat betekent dus dat een inhomogene situatie met veel absorptie op het plafond nóg langere nagalmtijden oplevert.

• Dat staat in contrast met de waarde op t = 0, die dus het geluidniveau geeft. Eigenlijk staat in de figuren dat voor het geluidniveau de hoeveelheid absorptiemateriaal veel belangrijker is dan de plaats. Voor de nagalmtijd is de plaats juist heel belangrijk.

• Verstrooiing verlaagt de nagalmtijd. Dat geldt in deze figuren voor  de verstrooiing van de oppervlakken, maar geldt in de praktijk ook voor meubilair, zelfs als dat niet-absorberend is. Echter, soms staat meubilair in de weg, zoals in een sportzaal. Kunstmatige ophoging van de verstrooiing kan dan gewenst zijn.

 

1.3   Liever EDT dan RT_5_35?

In concertzalen is tamelijk veel onderzoek gedaan naar de beleving van nagalm door luisteraars; zie bijvoorbeeld [[3]]. Daarbij blijkt de beleving van nagalm vooral samen te hangen met EDT. In veel muziek is de dynamiek van de lopende muziek niet veel meer dan 10 dB en is dus pas bij het slotakkoord te horen hoe een zaal uitklinkt over 20 of 30 dB. Ook voor de spraakverstaanbaarheid geeft EDT een veel betere indruk dan de twee andere grootheden.

Men zou dus de conclusie kunnen trekken dat EDT geschikter is dan de RT-waarden tussen -5 en -25/-35 dB.

Helaas zijn er ook argumenten tegen EDT. Het eerste argument staat getekend in de figuren 4 en 5 Daarvoor is een berekening uitgevoerd in een ray-tracing programma van EDT (figuur 5) en RT tussen -5 en -35 dB (figuur 6). De ruimte meet 16 ´ 8 ´ 4 m³ en gegeven wordt een horizontale doorsnede op 1 m hoogte. Op het punt (2.5, 2.5) staat een geluidbron. De contouren worden berekend nadat een net van 153 mikrofoonpunten is uitgerold.

 

De waarden van EDT berekend in een ruimte van 16 ´ 8 ´ 4 m³.

 

Figuur 6: De waarden van RT tussen -5 en -35 dB, berekend in een ruimte van 16 ´ 8 ´ 4 m³.

 

Figuur 6 illustreert waarom de nagalmtijd in de laatste 100 jaar zo populair is geworden: de waarde is mooi constant door de ruimte. EDT daarentegen loopt sterk af nabij de bron, hetgeen o.a. veroorzaakt wordt doordat het directe geluid de helling van het eerste stuk van de nagalmcurve sterk beïnvloedt.

Men zou natuurlijk kunnen vermijden om EDT al te dicht bij de bron te bepalen, maar er is een nog groter bezwaar tegen EDT: ook de meetuitkomsten variëren sterk. Waar het precies vandaan komt is niet altijd even duidelijk maar de gemeten pulsresponsies zien er in de allereerste milliseconden nogal grillig uit en ze hangen sterk af van de plaats. Kennelijk spelen allerlei lokale reflecties (de vloer, meubilair, toevallige plafond- en muuronderdelen) en staande golven een grote rol voor het eerste deel. Een verschuiving van een paar centimeter kan al invloed hebben.

Nader onderzoek kan hier wellicht uitkomst brengen [[4]].

 

2.    Modellen voor de voorspelling van de nagalmtijd

2.1   Bestaande modellen

Na de modellen van Sabine (in 1900) en Eyring (in 1930) hebben velen zich bezig gehouden met de nagalmtijd. Een duik in de literatuur levert zeker tien mogelijkheden en eigenlijk deugen ze geen van alle om de eenvoudige reden dat "de" nagalmtijd bij concave curven niet bestaat; de nagalmtijd hangt te sterk af van het gekozen interval. Dat is uiteraard "juridisch" op te lossen door altijd alleen de nagalmtijd tussen bijvoorbeeld -5 en -25 dB te meten en voor te schrijven in een norm, maar die aanpak doet weer geen recht aan wat wij horen.

 

In de tabel staan drie voorbeelden doorgerekend die we al een paar maal zijn tegengekomen. Eén van de kolommen is gereserveerd voor de nagalmtijd zoals die wordt berekend met de officiële norm NEN 12354-6. Daarin staat een methode om ook voor niet-kubische ruimten de nagalmtijd te berekenen.

 

Tabel 1:  De nagalmtijden afhankelijk van de ruimtevorm, uitgaande van een constant volume.

De rechter kolom geeft de berekening volgens normblad NEN-12354-6 indien de diffusie op 0 wordt gezet.

 

Ruimtevorm	Vol	S	a	A	RT sab	EDT	RT 5_25	RT 5_35	NEN 12354
8 ´ 8 ´ 8	512	384	0.2	77	1.08	1.00	1.02	1.05	1.11
16 ´ 8 ´ 4	512	448	0.2	90	0.93	1.00	1.23	1.51	1.01
32 ´ 8 ´ 2	512	672	0.2	134	0.62	0.90	1.64	2.49	0.83

 

We zien een paar dingen, die ten dele al eerder aan de orde kwamen:

 

• De nagalmtijd RTsab volgens de theorie van Sabine-Franklin-Jaeger daalt als de ruimtevorm meer van de kubus afwijkt. Dat komt omdat het geometrisch oppervlak toeneemt en daarmee het absorberend oppervlak A.

• De waarde van EDT uit het spiegelbronnenmodel vertoont ook een dalende tendens maar de afname is veel geringer.

• De nagalmtijden uit NEN 12354-6 vertonen een dalende tendens, net als RTsab en EDT. Ten opzichte van RTsab voorspelt NEN 12354-6 wel degelijk een verlenging.

• De nagalmtijden die zijn gefit tussen -5 en -25 dB of tussen -5 en -35 dB stijgen sterk. De nagalmcurven worden steeds krommer.

 

NEN 12354-6 en EDT uit het spiegelbronnenmodel vertonen wel een redelijke overeenkomst. Echter, NEN 12354-6 maakt nergens duidelijk welke nagalmtijd wordt voorspeld, zodat moet worden aangenomen dat het om RT_5_35 gaat, Die overeenkomst is zondermeer slecht.

Ray-tracing-modellen geven gelijke waarden als het spiegelbronnenmodel indien de diffusie op nul wordt gezet. Bij toenemende diffusie verlaten we ons op figuur 4. Met andere woorden: EDT blijft min of meer gelijk maar RT_5_25 en RT_5_35 dalen ten opzichte van volledige spiegeling.

Ook in NEN 12354-6 kan diffusie worden ingevoerd. Dan zien we dezelfde afname van RT bij toenemende diffusie. In dit opzicht is NEN 12354-6 wel betrouwbaar.

 

2.2   De "equivalente kubus".  Zoveel modellen, en dan toch nog eentje erbij?

Uit de voorgaande paragrafen sprak geen grote bewondering voor de bestaande modellen voor de nagalm. Sterker nog: door de kromme curven werd "de" nagalmtijd onbepaalbaar genoemd.

Toch zullen we een poging doen een uiterst eenvoudige benadering te geven van "de" nagalmcurve. Het model is bedoeld als een hulpmiddel bij de berekeningen vooraf dus als de ruimte nog op de tekentafel staat en het hoopt de ontwerper te wapenen tegen teleurstellingen bij oplevering van het gebouw.

 

In figuur 7 is een voorbeeld nader uitgewerkt. De stippellijnen geven de berekeningen met het spiegelbronnenmodel. De getrokken lijnen geven de nagalmcurven zoals berekend met de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger.

 

Figuur 7: De waarden zoals berekend door de SFJ-theorie voor twee ruimtevormen (getrokken lijnen) en door het spiegelbronnenmodel (stippellijnen). De absorptie is homogeen verdeeld; de reflectiecoëfficiënt is gelijk aan R = 0.2 dus a = 80%.

 

Zoals reeds meerdere malen gemeld is er een goede overeenkomst voor de kubus. De rode stippellijn is net een spoortje steiler dan de rode getrokken lijn, hetgeen vooral kan worden verklaard omdat eigenlijk de nagalmformule van Eyring moet worden gebruikt.

De overeenkomst voor een sterk niet-kubsiche ruimte (beide groene lijnen) is bedroevend. Maar we zien wel een interessant aspect: de rode getrokken lijn is ook een redelijke benadering voor de niet-kubische ruimte. Zowel het geluiddrukniveau (bij t =0) als de helling worden beter benaderd. Dat betekent niets anders dan dat we de niet-kubische ruimte kunnen vertalen in een kubus met precies hetzelfde volume. En dat betekent weer dat het totale oppervlak in de formules wordt herschreven:

          .           

Voor een kubus zijn die waarden dus gelijk; voor een niet-kubische ruimte is de rechterzijde kleiner. We vinden nu:

 

Formules volgens SFJ-theorie	Equivalente kubus

 

Er is een alternatieve, en wellicht handiger aanpak. We kunnen namelijk de SFJ-formules ook laten staan en een herberekening van de absorptiecoëfficiënt uitvoeren. Dat sluit iets beter aan bij de praktijk, zoals te zien is in de volgende tabel. De absorptiecoëfficiënt a wordt eerst berekend aan de hand van de gegevens (bijvoorbeeld van leveranciers) per oppervlak; daarna vindt een herberekening plaats waaruit een lagere waarde van de absorptiecoëfficiënt a_ek rolt.

Op deze manier wordt als het ware een veiligheidsmarge ingevoerd.

 

Formules volgens SFJ-theorie	Equivalente kubus

 

 

vorige     theoriedeel     volgende