Waarnemer en bron
In deze serie van webpagina's wordt de theorie
uitgelegd van de voortplanting van geluid door een ruimte. Dat geluid
manifesteert zich in onze hersenen, nadat trillende luchtmoleculen onze
trommelvliezen in beweging hebben gebracht
[[1]],
[[2]].
We gaan er vanuit dat de effectieve geluiddruk de geluidsensatie in onze
hersenen beste manifesteert. Het doel van deze webpagina's is daarom om
de effectieve geluiddruk zo goed mogelijk te voorspellen ter plaatse van
een waarnemer. Echter, de meeste waarnemers hebben twee oren maar de
berekening is hier slechts bij uitzondering stereofonisch / binauraal [[3]].
De mens wordt in dit theoriedeel dus geabstraheerd tot één drukgevoelige
mikrofoon.
Aan de bronzijde wordt steeds gewerkt met een
"puntbron". Alle geluidvermogen komt daarbij uit één denkbeeldig punt.
Dat model werkt in de zaalakoestiek; een menselijke spreker voldoet ruim
voldoende aan dat model. De nauwkeurigheid van het model hangt ook af
van de afstand tussen bron en mikrofoon. Een viool is op een paar meter
afstand wel als een puntbron te beschouwen, maar op een paar centimeter
niet. Indien een bron zeer groot wordt, een symfonieorkest bijvoorbeeld,
kunnen we eventueel onze toevlucht nemen tot een model bestaande uit
meerdere puntbronnen. De afzonderlijk geluiddrukken van meerdere
geluidbronnen mogen simpelweg worden gesommeerd.
Diegenen die de volgende afleiding nog
onvoldoende grondig vinden zij verwezen naar (bijvoorbeeld) Beranek en
Pierce [[4]],
[[5]].
De isotrope puntbron
Een puntbron die in alle richtingen even sterk
geluid afstraalt wordt een "isotrope puntbron" genoemd. In het
akoestisch jargon wordt de term "omni-directionele bron" echter vaker
gebruikt. Figuur 1 toont het model. Die bronnen bestaan alleen in
theorie, maar toch is het theoretische model vruchtbaar om de
akoestische theorie af te leiden. De "anisotrope puntbron" met
voorkeursrichtingen (de menselijke spraak, een luidspreker, een
muziekinstrument) komt later aan de orde.
Figuur 1: Een isotrope puntbron zendt in
alle richtingen evenveel geluid uit.
Stel nu dat de puntbron een continu signaal
uitzendt met een akoestisch vermogen W. Dan willen we becijferen
wat de geluiddruk is ter plekke van de mikrofoon op een afstand r
van de bron.
Daarvoor moet gebruik worden gemaakt van de
"intensiteit", aangeduid met de letter Iav. Dat is een
lastige grootheid die ook niet altijd even nauwkeurig wordt gebruikt [[6]].
De intensiteit Iav is nu het
vermogen door een bepaald oppervlak en heeft een richting [[7]].
Het is dus een vector. Het vermogen is maximaal als de intensiteit
loodrecht op het vlak staat. De hoek tussen de normaal en de intensiteit
introduceert een cosinusfactor [[8]].
De figuren 2 en 3 maken dat duidelijk.
Figuur 2: De intensiteit geeft het vermogen
in grootte en richting door een standaardoppervlak.
Figuur 3: Omdat de intensiteit een richting
heeft is er een afhankelijkheid van de stand van het vlak. Als
j gelijk is aan nul, is het
vermogen door het oppervlak maximaal. Bij
j = 90º is het vermogen door
het oppervlak gelijk aan nul.
Bij ingewikkelde bronnen (een auto bijvoorbeeld
die uit meerdere bronnen bestaat) is het totale vermogen door een vlak
tamelijk ingewikkeld. Een gewone drukmikrofoon faalt om het effect te
meten, maar er bestaan speciale meetinstrumenten die plaatselijk de
vector bepalen en alle vectoren kunnen sommeren (integreren) over het
oppervlak. Figuur 4 geeft een voorbeeld.
Figuur 4: Het vermogen door een bepaald
oppervlak is de som van alle normaalvectoren van de intensiteit.
Bij een ingewikkelde bron kan op sommige plaatsen
de vector zelfs naar binnen gericht zijn. De cosinusfunctie wordt dan
automatisch negatief.
Het totale vermogen WS door
een vlak S kan nu worden geschreven als:
,
(1)
waarbij Iav en n dus
als vectoren worden geschreven. Het inwendig product leidt tot de
cosinusfunctie.
De akoestische theorie leert ons nu dat alle
uitgezonden vermogen kan worden berekend door een gesloten
oppervlak rondom de bron te slaan:
.
(2)
Figuur 5: Het vermogen van de bron is gelijk
aan de integraal over alle vectoren op een gesloten oppervlak.
We mogen ons gelukkig prijzen dat het
vectorenbeeld een stuk simpeler is voor een ideale puntbron. Allereerst
staan alle Intensiteitsvectoren radiaal gericht en ten tweede is het
oppervlak makkelijk te becijferen. Voor een anisotrope bron zijn niet
alle vectoren even groot, maar voor een isotrope bron wel. Dat staat
getekend in figuur 6.
Figuur 6: Bij een isotrope puntbron staan
alle vectoren radiaal gericht en zijn ze allemaal even groot.
Nu kunnen we de integraal uit vergelijking (2)
oplossen:
.
(3)
De volgende stap is om I te koppelen aan
de geluiddruk. Daartoe doen we een stap terug naar de tijdafhankelijke
vector I(t). Dan geldt, net als bij de geluiddruk dat een
effectieve waarde kan worden becijferd.
.
(4a)
Verder geldt:
.
(4b)
Hierin is p de geluiddruk en v
(een vector dus) de deeltjessnelheid. De oplossing van de integraal
hangt vooral af van de onderlinge fasen van p en v. In een
zuivere staande golf bijvoorbeeld lopen p en v steeds 90º
achter elkaar aan. Zo'n verschijnsel transporteert dan ook geen
vermogen. In een vlakke lopende golf daarentegen zijn p
en v altijd in fase, waardoor v in p kan worden
uitgedrukt en een tamelijk simpel verband ontstaat:
,
(5a)
en dus na oplossing van vergelijking (4a):
.
(5b)
Bij het puntbronmodel uit figuur 6 wordt niet
voldaan aan de voorwaarde dat de golf vlak is. Met name vlak bij de bron
is de kromming van het boloppervlak te sterk en gaat het fout. Op wat
grotere afstand [[9]]
mag formule (5b) wel worden ingevuld in formule (3). We vinden dan:
,
(6)
waarbij p ook voor de effectieve
geluiddruk staat maar de index eff wordt nu (en in de volgende
pagina's) uit gemakzucht weggelaten.
Als de vergelijking wordt omgedraaid staat er:
,
(7)
waarbij nu ook nog de index puntbron
sneuvelt
Formule (7) is de basis van de zaalakoestiek en
alle rekenmodellen maken er gebruik van. Daarbij bekommert zich niemand
erom dat de formule niet helemaal correct is. Kennelijk zijn bij
metingen nooit significante verschillen gevonden die de theorie op losse
schroeven zetten.
De gerichte (anisotrope) puntbron
Er is al eerder gemeld dat de isotrope bron niet
bestaat. In de handel is bijvoorbeeld wel een dodekaeder van 12
afzonderlijke luidsprekers, maar zelfs zo'n bron vertoont pieken en
dalen, met name vanaf 1000 Hz.
Figuur 7: Een voorbeeld van een poging om
een isotrope bron te maken.
Figuur 8: Bij een anisotrope puntbron staan
alle vectoren nog wel radiaal gericht, maar zijn ze niet meer even lang.
Het beeld met intensiteitsvectoren uit figuur 8
komt veel meer met werkelijke bronnen overeen. De figuur geeft aan dat
de lengte van de intensiteitsvectoren afhankelijk is van de richting.
We nemen nu aan dat formule (5b) mag worden
gehandhaafd, maar dat de grootte van p2 nu afhangt van
de plaats op de bol. Dat betekent de introductie van twee hoeken
j en
f om aan te geven dat het
een driedimensionaal effect is met hoeken ten opzichte van een
horizontaal en een verticaal vlak. Formule (2) is dan te schrijven als:
.
(8)
Het is nu gebruikelijk om een
richtingscoëfficiënt Q in te voeren die de verhouding geeft
tussen de geluiddruk van een isotrope en een anisotrope bron. p2isotroop
is dan onafhankelijk van de hoek en mag dus buiten de integraal worden
gehaald.
.
(9)
Nu wordt de isotrope waarde zo gekozen dat
geldt:
.
(10)
Omdat uiteindelijk veel wordt gewerkt met de
logaritme van p2, bestaat er ook een logaritmische
variant van Q die vaak DI (van directivity index) wordt
genoemd. Er geldt dan:
.
(11)
De meting en normering van Q is geen
sinecure, temeer daar Q ook nog afhankelijk is van de frekwentie.
Voor een luidspreker is Q nog wel te bepalen. De speaker kan op
een draaitafel worden geplaatst en worden gevoed met een continue toon.
Bovendien mag vaak rotatiesymmetrie wordt verondersteld rond de as,
zoals eigenlijk al was getekend in figuur 8.
Voor de menselijke stem is een goede meting zeer
lastig. Het signaal varieert, sprekers variëren, de frekwentie
varieert, enz, zodat alleen globale waarden bekend zijn. Vaak wordt een
waarde Q = 2.5 aangehouden in de as van de mond. Die waarde is
dan gekoppeld aan het A-gewogen geluidniveau.
Bij rekenmodellen is de straalrichting en
daarmee Q van de bron van groot belang. Daarom wordt er veel
aandacht besteed [[10]].
Bij Catt Acoustic wordt bijvoorbeeld een bron gebruikt die "singer_onaxis"
wordt genoemd en die wij graag gebruiken voor zalen, klaslokalen e.d. De
Q in de as van de mond wordt dan wat lager gekozen omdat een
sprekend/zingend hoofd altijd wat beweegt waardoor er een zekere
uitmiddeling ontstaat.
|
vorige theoriedeel volgende
|
|