Signaaltypen: continu en pulsvormig
Onder een "continue bron" verstaan we een bron
waarvan het geluiddrukniveau constant is als functie van de tijd. Als we
aan een luidspreker een sinustoon toevoeren wordt aan die voorwaarde
voldaan (figuur 1). Een ruisbron is ook redelijk continu, maar daar zien
we wel degelijk enige kleine schommelingen indien we een geluidmeter in
de buurt houden.
Figuur 1: Een voorbeeld van een continu
signaal. De geluiddruk varieert sinusvormig met de tijd, maar op een
geluiddrukmeter geeft de rode lijn de constante effectieve geluiddruk.
De frekwentie in dit voorbeeld is 100 Hz. De verticale as is arbitrair.
Aan de andere kant van het spectrum bevindt
zich de "akoestische puls". Dat is juist een zeer kort durend geluid.
Een veel gebruikt signaal is bijvoorbeeld een alarmpistool. Maar ook een
doorgeprikte ballon of iemand die in de handen klapt levert een
pulsvormig geluid. Een voorbeeld van een puls staat gegeven in figuur 2.
Het toont de overslag van een vonk die wordt gebruikt in schaalmodellen
[].
Figuur 2: Een aantal gemeten pulsen
veroorzaakt door een vonk. De verticale as is arbitrair want gemeten is
de spanning aan de uitgang van een versterker. De verschillende kleuren
geven de richting waarin de vonk geluid afstraalt []
Figuur 3 toont een gestileerde vonk. Dergelijke
signalen met wat in- en uitslingerverschijnselen horen typisch bij een
puls die in bandbreedte is begrensd, bijvoorbeeld doordat het signaal
door een oktaaffilter is gehaald.
Figuur 3: Een puls zoals die in de praktijk
ongeveer kan worden aangetroffen.
Figuur 4 geeft een wiskundige puls van de
geluiddruk. Die bestaat niet in de akoestiek. Bij alle gewone bronnen
veren de luchtmoleculen na een positieve drukpuls weer terug waardoor er
ook nog een negatieve geluiddruk ten opzichte van de barometrische druk
langs de mikrofoon komt. Meestal is het negatieve deel dan ongeveer even
groot als het positieve, zoals figuur 2 reeds toonde. Bij de meeste
explosies wordt extra gas gemaakt. Dan is er een blijvende verplaatsing
van de luchtmoleculen en kan de positieve druk een stuk groter zijn dan
de negatieve. Bovendien is de positieve druk onbegrensd, maar de
barometrische druk kan uiteraard niet kleiner worden dan nul, zodat de
negatieve geluiddruk niet kleiner kan worden dan -105 Pa [].
Figuur 4: Een wiskundige "diracpuls". Die
kan worden geschematiseerd door een rechthoekje waarvan het oppervlak
gegeven is. De breedte nadert tot nul, waardoor de amplitude dus
oneindig hoog moet worden.
Energie
Indien we een hoeveelheid energie willen meten
of berekenen kunnen we de integraal uitrekenen zoals we die in het
voorgaande deel tegenkwamen. Dan geldt algemeen:
,
(1)
waarbij Em2 de hoeveelheid
energie voorstelt die door een vierkante meter gaat. De dimensie is dan
ook J/m2 [].
De tijd T geeft de tijd waarover wordt geïntegreerd. Die varieert
globaal van 1/8-ste seconde voor de gebruikelijke geluidmeters tot een
heel jaar voor verkeers- of vliegtuiglawaai. We komen daarop terug.
In een vlakke golf (of op een redelijke afstand
van een puntbron) geldt weer de overgang van intensiteit I naar
p, zodat we kunnen schrijven:
.
(2)
Stel nu dat we de integraal loslaten op het
signaal van figuur 3. Dan zien we links in figuur 5 p2.
In de rechter figuur staat de "lopende" energie
uit. Dat is de waarde indien we telkens integreren van nul tot een
gekozen waarde t. Dus in formulevorm:
.
(3)
De totale energie vinden we aan het eind. In
wiskundige termen moeten we dan t =
¥ invullen in de bovengrens van
de integraal.
Figuur 5: Het kwadraat van de geluiddruk
uit figuur 3 (links) en de daaruit berekende energie (rechts).
Figuur 6 toont precies dezelfde procedure
indien het ingangssignaal een zuivere sinus is zoals die was getekend in
figuur 1.
Figuur 6: Het kwadraat van de geluiddruk
uit figuur 1 (links) en de lopende energie berekend met formule 3
(rechts).
Vermogen
Figuur 5 rechts levert een bruikbare waarde van
de energie, maar figuur 6 rechts niet. Daarom wordt bij continue bronnen
het "vermogen" gebruikt. Dat verschilt slechts van de energie door het
signaal te delen door de tijd waarover wordt geïntegreerd:
.
(4)
Deze grootheid wordt gegeven in W/m2.
Indien we weer een "lopende" waarde (naar
analogie met formule (3)) willen berekenen, noteren we dit iets anders
als:
.
(5)
Als we deze laatste berekening loslaten op de
continue sinus van figuur 1 ontstaat het beeld van figuur 7. Indien we
de integratietijd in een geluidmeter dus niet te kort kiezen, geeft de
meter nu een continu niveau weer.
Figuur 7: Het kwadraat van de geluiddruk
uit figuur 1 (links) en het lopende vermogen berekend met formule 5
(rechts).
Echter, bij de vermogensberekening van pulsvormige geluuiden ontstaat een
dilemma. Immers, als formule (5) wordt
toegepast op het signaal uit figuur 3 ontstaat een "opleving" rond t
= 0.01, maar daarna zal het signaal continu dalen. Conclusie is dus dat
de energie noodzakelijk is voor pulsvormige signalen en het vermogen
voor continue signalen.
De waarde van T en het equivalente geluidniveau
Een groot deel van de dagelijkse signalen is
noch pulsvormig, noch continu. Spraak, muziek, verkeersgeluid, enz.
vertonen allemaal een fluctuerende sterkte. Het is gebruikelijk om
dergelijke signalen te middelen, hetgeen dus niets anders is dan
terugrekenen naar een continue vermogen. De formule lijkt dan sterk op
formule (4):
.
(6a)
In logaritmische vorm kunnen we dit schrijven
als:
.
(6b)
Figuur 8 geeft een voorbeeld van fluctuerend
geluid. Links staat formule (6a) geïllustreerd en rechts formule (6b).
De toevoeging eq staat voor equivalent. Het blauwe oppervlak
onder de fluctuerende lijn in de linker figuur vertegenwoordigt een
bepaalde hoeveelheid energie. Die is precies net zo groot als het
oppervlak onder de rode lijn. De energieën zijn dus equivalent. De
achtergrond van deze werkwijze is dat de invloed van geluid op de mens
het beste te karakteriseren is met de totale energie.
Figuur 8: De middeling van een fluctuerend
signaal over 100 s. Links is het kwadraat van de geluiddruk uitgezet. De
rode lijn geeft het gemiddelde over dezelfde tijd. Rechts staat
hetzelfde signaal uitgezet langs een logaritmische as. De rode lijn
geeft hier het niveau van de linker rode lijn; dat is niet de
gemiddelde waarde van de rechter niveaus.
Eigenlijk is de definitie van het equivalente
geluidniveau precies hetzelfde als die van de effectieve geluiddruk. De
kortste waarde van T die we in de dagelijkse praktijk tegenkomen
is dan ook 1/8-ste seconde, ofwel de stand "fast" op een geluidmeter.
Bij "slow" wordt T = 1 s gekozen. Spraak wordt nogal eens
gekarakteriseerd door T als 1 of 5 minuten te kiezen, hoewel hier
geen eenduidigheid geldt. Voor verkeersgeluid gelden intervallen van 12,
4 of 8 uur voor de dag, avond en nacht. Het lawaai van Schiphol wordt
meestal verrekend over een kalenderjaar.
Soms is het onderscheid tussen energie en
vermogen wat vaag. Sommige mensen dragen bijvoorbeeld een "noise-dose"
meter waarbij de energie wordt vastgelegd als een steeds oplopende dosis
[].
Uiteindelijk wordt aan die energie toch weer een maximum gesteld per
werkdag, werkweek of werkjaar, zodat toch weer een equivalent
geluidniveau ontstaat dat is gelieerd aan het vermogen [].
De gebruikte pulsbronnen in de volgende
hoofdstukken
In het vervolg van deze site wordt zeer veel
gewerkt met pulsvormige signalen. Het directe geluid wordt voorgesteld
als een puls en alle reflecties van de wanden zijn eveneens pulsvormig.
Echter, gereflecteerde pulsen hebben een langere looptijd van bron naar
mikrofoon en komen dus later binnen. Het geheel van pulsen zal in het
volgende deel de "pulsresponsie" worden genoemd. De pulsresponsie is in
de huidige akoestiek volstrekt onmisbaar [].
Iedere puls vertegenwoordigt een hoeveelheid
energie. In een later stadium zal de pulssterkte worden genormeerd; hier
wordt voorlopig volstaan met een normeringsgrootheid E0
waarmee alle pulsen worden vermenigvuldigd. We zijn dus eigenlijk
slechts geïnteresseerd in de onderlinge sterkte van de pulsen en niet in
de absolute waarde [].
Stel nu dat "plotseling", op een tijdstip t
= t0, een hoeveelheid energie ter grootte van E0
joule door de bron wordt gegenereerd. Dan kan de energie als functie van
de tijd worden geschetst als in figuur 9 links. Dat wordt in formulevorm
geschreven als:
,
(7)
waarin S(t) een sprong
representeert van 0 naar 1 op tijdstip t = t0.
Figuur 9: Een puntbron stuurt op t = t0
een hoeveelheid energie uit gelijk aan E0. De energie
vertoont dus een "sprong", geidealiseerd in de linker figuur.
Het kwadraat van de geluiddruk is evenredig met
de afgeleide. Dat wordt gerepresenteerd door een ideale "diracpuls". Die
kan worden geschematiseerd door een rechthoekje waarvan het oppervlak
evenredig is met E0. De breedte is oneindig smal,
waardoor de hoogte oneindig hoog moet worden.
Voor een isotrope puntbron was de energie E
in het voorgaande theoriedeel gekoppeld aan de geluiddruk p op
een afstand r van de bron als:
.
(8)
Maar het gaat ons er uiteindelijk om om p2
te berekenen en daaruit het geluiddrukniveau, zodat de formule moet
worden omgekeerd. Er geldt dan:
.
(9)
Als we nu voor E het signaal van figuur
9 links kiezen en formule (9) toepassen vinden we:
,
(10)
waarin nu een "diracfunctie" verschijnt die
rechts in figuur 9 is getekend [].
Zo'n diracfunctie is eigenlijk helemaal niet te
tekenen, want het oppervlak is gegeven (en in dit geval gelijk
aan E0), maar de breedte moet oneindig smal worden
gedacht en de pulshoogte is daardoor oneindig hoog. Toch wordt in
de signaalverwerking de diracpuls met veel vrucht gebruikt.
Een energiestoot (zo heet dat) van de bron op
een tijdstip t = t0 leidt tot een puls in p2
op afstand r. Die komt later aan en wel op het tijdstip t
= t0 + r/c waarin c de
geluidsnelheid is.
Stel nu dat er, behalve het direct, ook nog een
reflectie binnenkomt van een wand, zoals getekend in figuur 10. De
reflectie heeft een langere loopweg en komt dus nog later binnen en we
zien in het rechterdeel van figuur 10 twee pulsen. Indien de
energiestoot van de bron wordt verondersteld op t = 0, kan voor
het signaal bij de waarnemer worden geschreven:
.
(11)
Figuur 10: Het direct en een gereflecteerde
straal. Het direct legt 4 m af; de gereflecteerde straal r2 =
5.5 m.
Gemakshalve is de totale term voor de haakjes in
formule (11) gelijk aan 1 gesteld.
Wanneer faalt het model?
Formule (11) is het zwakste punt in de
voorgaande afleiding. Eigenlijk moeten namelijk de geluiddrukken worden
opgeteld in plaats van de kwadraten, dus met twee pulsen voor de
geluiddruk, zoals reeds in figuur 4 getoond. In formulevorm geldt dan:
,
(12)
waarin K0 een bepaalde
constante is. Hierna kan alsnog het kwadraat worden berekend indien we
de energie willen weten. Dan verschijnen beide kwadratische termen uit
formule (11), maar nu aangevuld met een kruisterm die
"interferentie" introduceert. Figuur 11 geeft een voorbeeld indien in
figuur 10 links de directe afstand 2 m is en de gereflecteerde afstand
gelijk is aan 2.6 m.
Figuur 11: Twee pulsen met een loopweg van
resp. 2.0 en 2.6 m (links). Rechts geeft de interferentie indien een
sinusvormige toon wordt uitgezonden door de bron. Als het model uit
formule 11 wordt gebruikt vinden we de constante rode lijn.
De twee pulsen spreken voor zich. Maar stel nu
eens dat de bron een sinusvormige toon uitzendt. Dan leidt het
tijdverschil tussen de pulsen tot een faseverschil in de sinussen bij de
waarnemer. Er ontstaat een bekend interferentiepatroon met knopen en
buiken dat in de rechterfiguur is geschetst als functie van de
frekwentie. Het loopwegverschil van 60 cm zorgt voor een knoop bij de
halve golflengte die overeenkomt met 285 Hz. De eerste buik verschijnt
bij 570 Hz, dan volgt weer een knoop bij 855 Hz, enz [].
Doordat de frekwentieschaal logaritmisch wordt
weergegeven lijkt het alsof er steeds meer knopen en buiken voorkomen.
Per oktaaf gerekend is dat ook zo. De waarden binnen een oktaaf mogen
worden gemiddeld, waardoor het beeld van figuur 12 ontstaat.
Figuur 12: De waarden uit figuur 11 rechts
zijn telkens gemiddeld per oktaaf.
Uit figuur 12 valt te constateren dat formule
11 het heel goed doet voor de hogere frekwenties; laagfrekwent ontstaan
interferenties die niet goed worden berekend. Het model is dus een
hoogfrekwent-benadering. Dat geldt trouwens algemeen voor ray-tracing
modellen: hoogfrekwent zijn ze in goeden doen; laagfrekwent kunnen ze de
staande-golfpatronen (ook dat is interferentie) niet aan.
|
vorige theoriedeel volgende |
|