Pulsresponsie en histogram
Figuur 1 geeft een voorbeeld van een responsie
van een kubusvormige ruimte op een energiepuls. Het effect is
berekend; er wordt gesuggereerd dat de pulsen afzonderlijk zichtbaar
zijn. Aan het eind van dit hoofdstuk zal een voorbeeld worden gegeven
van een meting. Dan zal ook blijken dat de berekende pulsresponsie
helemaal niet kan worden gevonden.
Figuur 1: De berekende pulsresponsie op een
energiepuls voor een kubusvormige ruimte van 10 × 10 × 10 m3.
De rode puls geeft het directe signaal; alle
blauwe pulsen hebben minimaal één keer gereflecteerd. De energiepuls
wordt uitgezonden door een geluidbron en geregistreerd door een
mikrofoon die op 4 m afstand van de bron is gedacht. De eerste puls
heeft dus 0.012 s (dus 12 ms) nodig om de mikrofoon te bereiken. Alle
reflectiecoëfficiënten zijn 0.8.
De verticale as is logaritmisch gekozen omdat het
menselijk oor ook logaritmisch werkt. De waarde van E0 is
daarbij gekozen als 10-5 J. Eigenlijk is dat hier nog niet
van belang; het gaat slecht om de onderlinge verhouding tussen de
pulsen.
Twee eigenschappen vallen op aan de
pulsresponsie:
-
enerzijds omdat het geluid een langere weg heeft afgelegd,
-
anderzijds omdat het aantal reflecties toeneemt
en bij iedere reflectie gaat wat energie verloren.
De verticale as kan worden afgeleid uit de
formules uit de voorgaande webpagina's.
,
(1)
hetgeen kan worden genormeerd met de
referentiedruk tot:
,
(2)
waarin:
t =
tijd [s]
p =
geluiddruk [Pa]
pref =
referentie geluiddruk, gelijk aan 2.10-5 Pa.
r =
afgelegde weg van een puls [m]
r
= soortelijke massa van lucht [kg/m3]
c =
geluidsnelheid [m/s]
E0 =
energie van de uitgezonden energiestoot [J]
In figuur 1 is dan uitgezet:
,
(3)
Als de energie wordt uitgezonden op t =
t0 geldt bovendien:
,
(4)
In figuur 2 wordt een pulsresponsie gegeven van
een "niet-kubische" ruimte en voor een dubbele tijdsperiode (0.8 in
plaats van 0.4 s). In deze figuur is een repeterende echo te zien. Als
we een schatting maken van de tijdsafstand (dus ca. 65 ms) kan een
afstand worden teruggerekend van 20 m, overeenkomend met de afstand
tussen de kopse wanden.
Figuur 2: De berekende pulsresponsie voor
een ruimte van 20 × 8 × 5 m3. Alle reflectiecoëfficiënten
zijn 0.8. Ditmaal is het directe geluid niet afzonderlijk gekleurd.
Door de toenemende dichtheid van de
energiepulsen is de figuur van de pulsresponsie niet geschikt om de
energie goed af te lezen. Daartoe worden de pulsen telkens samengeveegd
in een interval met constante breedte. Daarbij worden uiteraard niet de
dB’s uit figuur 2 opgeteld maar de onderliggende waarden vóór
logaritmisering. Figuur 3 toont de energie zoals die uit figuur 2 is
berekend [[1]].
Doordat het aantal pulsen toeneemt, is de afname van de geluidenergie in
figuur 3 minder steil dan in figuur 2.
Figuur 3: De energie indien de pulsen uit figuur 2
telkens worden samengeveegd in een interval met vaste breedte van 20 ms.
Zowel voor figuur 2 als voor figuur 3 wordt de
term “echogram” gebruikt hoewel ze dus wezenlijk verschillend zijn. In
sommige ray-tracing programma’s wordt voor figuur 3 gesproken van een
“histogram”. Dat is eigenlijk de meest correcte term en we zullen ons
daaraan confirmeren.
De schroedercurve
Rond 1900 deed Wallace Sabine systematische
proeven aan nagalm met behulp van orgelpijpen. De pijp produceert een
constant niveau; de eigenlijke nagalmmeting wordt verricht als dat
geluid wordt uitgeschakeld [[2]].
De navolgers van Sabine (dat zijn dus alle zaalakoestici van na 1900)
gebruiken meestal geen orgelpijpen, maar een luidspreker die continue
ruis produceert.
Echter, een ruissignaal is minder continu dan
men denkt: er treden wel degelijk fluctuaties op en de nagalmcurven
verschillen zichtbaar indien het proces bijvoorbeeld vier keer wordt
herhaald. Dat bracht Manfred Schroeder ertoe om het gemeten signaal
"achterwaarts" te integreren van oneindig naar de tijd t, waardoor
vooral een veel nettere curve ontstaat [[3]].
Er ontstaat dan een tijdafhankelijke grootheid S:
Door de integratie doet het er niet toe of de
curve van figuur 2 of 3 wordt gebruikt; ze geven hetzelfde resultaat.
Als we figuur 3 als voorbeeld nemen is de schroedercurve niets anders
dan het optellen van de energiepulsen, te beginnen aan het eind. Figuur
4 geeft een voorbeeld.
Figuur 4: De schroedercurve (in rood) zoals
berekend uit figuur 3. De laatste puls is het startpunt, dan worden daar
achterwaarts steeds pulsen bij opgeteld, uiteraard voordat de schaal
wordt gelogaritmiseerd.
Zoals te zien is verdwijnen de pulsen en
schommelingen. De informatie uit figuur 3 is echter nog steeds aanwezig.
Het laatste stuk van een schroedercurve (na ca. 0.7 s) is niet te
vertrouwen. Om dat alsnog goed te krijgen is een langere meet- of
rekentijd noodzakelijk [[4]].
Rekenen en meten
In feite staan in figuur 4 nu zowel de responsie
op een pulsvormig signaal (in blauw) als de responsie op het
uitschakelen van een continue bron in rood. Rekenmodellen die zalen
kunnen doorrekenen leveren bij hun output dan ook figuren die sterk
lijken op de figuren 2 en 4.
Bij metingen wordt een iets andere weg gevolgd, er is nl.
één essentieel verschil met rekenmodellen. In een rekenmodel
wordt de aankomsttijd van iedere geluidstraal vastgelegd. Naarmate men verder
in de tijd vordert komen er steeds meer stralen min of meer tegelijk binnen.
Dat is te zien aan de oplopende dichtheid in figuur 1 na 0.1 s. Bij digitale
metingen wordt daarentegen bemonsterd met een vaste frekwentie de zgn.
“sample rate”. Die is bij veel metingen (waaronder de onze) gelijk
aan 48.0 kHz, maar 44.1 kHz (voor CD’s), 96 kHz en 192 kHz komen ook
voor. Dat betekent dat door de meetapparatuur om de 20.8 µs
(microseconde) een waarde wordt bepaald (“gesampled”). Figuur 5-links
toont een pulsresponsie die in een kerk is gemeten [[5]]. De fijnstruktuur
per 20.8 µs is in deze figuur niet te zien, maar als sterk wordt
ingezoomd lukt het wel degelijk, zie figuur 5-rechts.
|
|
Figuur 5: Een pulsresponsie van de geluiddruk zoals
gemeten in een kerk met een nagalmtijd van ongeveer 7 s. De linker horizontale
as gaat in s, de rechter in ms; er is dus ingezoomd op het deel tussen 0.028 en
0.040 s
De verticale as geeft de geluiddruk. De waarden zeggen weinig,
want als de gebruikte geluidbron harder wordt gedraaid, verandert ook de
schaal.
Figuur 5 toont de responsie van de geluiddruk op
een drukpuls [[6]],
waarbij positieve en negatieve waarden voorkomen. Dat signaal kan worden
gekwadrateerd, net zoals in rekenmodellen; daarmee verdwijnen automatisch de
negatieve waarden. In figuur 6 is dat gedaan [[7]].
Om de leesbaarheid van de figuur te vergroten wordt verticaal een logaritmische
schaal gebruikt, waardoor een geluiddrukniveau ontstaat.
Links in figuur 6 is het beeld getekend in de vorm van
één puls per 20.8 µs. Dat beeld is nogal rommelig en daarom
is het gebruikelijker om alleen de piekwaarden te tekenen waardoor het beeld
van figuur 6-rechts ontstaat.
Figuur 6: Kwadratering van de geluiddruk uit figuur
5. Links worden pulsen getekend, rechts alleen de piekwaarden van iedere puls.
Maar er staat eigenlijk tweemaal hetzelfde.
De verticale schaal is gerelateerd aan de schaal van figuur
5 (0.2 Pa komt overeen met 80 dB) en varieert op dezelfde manier als functie
van de bronsterkte.
In figuur 3 was de energie uit het rekenmodel
samengeveegd in vaste intervallen. Dat is ook bij metingen een gebruikelijke
methode. Echter, bij berekeningen is deze handeling noodzakelijk, bij
metingen wordt het vooral gedaan om de leesbaarheid te verbeteren. Het
resultaat staat in figuur 7. De breedte van de intervallen is in dit geval 20
ms. Uit de pulsen wordt dan via een integratie weer een schroedercurve afgeleid
die ook is getekend in figuur 7 (de groene lijn).
Figuur 7: Een serie pulsen (in blauw) indien van
figuur 6 de energie wordt berekend in vaste intervallen van 20 ms. De rode lijn
is getrokken over de toppen van de blauwe pulsen. De groene schroedercurve
ontstaat door achterwaartse integratie van de rode waarden.
In figuur 7 is een interval gebruikt van 20 ms. Dat is
gedaan om de blauwe pulsen in de tekening afzonderlijk te laten zien. De rode
curve is gelijk aan de curve van figuur 6-rechts maar er is detail verloren
gegaan. Om de figuur te kunnen “lezen” heeft figuur 6-rechts
wat te veel detail en de rode lijn uit figuur 7 wat te weinig. Een waarde van
20 ms is in de praktijk ook ongebruikelijk lang, waarden van 2, 5 en 10 ms zijn
gebruikelijker, maar het interval is vaak heel simpel te kiezen en er is
ook nog in te zoomen. In de praktijk wordt soms een “RC-filter”
gebruikt om het detail van figuur 5 wat te doen afnemen. Dat is een methode uit
het analoge tijdperk. Bij zeer nauwkeurige beschouwing is wel verschil te zien,
maar voor de praktijk is ook een RC-filter meestal goed genoeg.
Wanneer welke curve?
De allereerste curven van Sabine leken vooral op
de schroedercurve van figuur 7, maar er was één principieel verschil: de schroedercurve is
door de integratie per definitie monotoon dalend terwijl oudere curven
veel meer slingerden en veel minder mooi reproduceerden. Daarom juist
heeft Schroeder zijn curve uitgedacht. De curve uit figuur 7 is ook ideaal
om er een nagalmtijd uit te bepalen, waarop we in het volgende deel
dieper zullen ingaan [[8]].
De schroedercurve is echter niet geschikt voor "echo-hunting".
Figuren 5, 6 en 7 tonen een knalharde echo rond 0.20 s. Die komt in dit
geval van de achterwand van de kerk [[9]].
De echo is met wat moeite ook uit de schroedercurve van figuur 7 te halen, maar de
rode curve is
natuurlijk veel handiger. Echo-hunting is met name van belang in zalen
voor muziek en in dat geval zal figuur 6 een belangrijke taak
verrichten.
|
vorige theoriedeel volgende |
|