1. Inleiding
De huidige webpagina B.3.1 behoort tot een serie van vijf
(B.3.1 t/m B.3.5) die een verdieping geven van de bovenliggende webpagina
“B.3 Absorberende materialen”. Het ultieme doel van deze
webpagina’s is om, aan de hand van voorbeelden, een inzicht te geven in
de akoestische processen die een rol spelen bij de keuze van een absorberende constructie.
De voorbeelden komen als grafieken uit een rekenmodel en staan in webpagina
B.3.3 voor een vlakke-plaat absorptie en in webpagina B.3.5 voor resonatoren in
de vorm van gaatjesplaten of vlakke-plaatresonatoren. De webpagina’s
B.3.1 en B.3.4 behandelen voorafgaand de theorie die gebruikt wordt in de
rekenmodellen. Daartussen staat in B.3.2 een uitleg van het gebruikte
computermodel.
2. Theorie
2.1 Geluiddruk en deeltjessnelheid als complexe getallen
Geluid ontstaat door trillende moleculen in een medium.
Dat is een gas, vloeistof of vaste stof, maar het gaat ons ook om bijvoorbeeld een
gas dat is ingesloten in een vaste stof; lucht in glas- of steenwol bijvoorbeeld. Geluidtrillingen
kunnen wiskundig worden beschreven met behulp van de wisselende geluiddruk. Die
is in de akoestiek het meest populair omdat het oor een instrument is dat
vooral de geluiddruk registreert. Echter, voor de beschrijving van geluidgolven
die zich voortplanten door een akoestische constructie is de geluiddruk niet
voldoende. Dan wordt ook een wiskundige beschrijving van de snelheid van de
moleculen (de “deeltjessnelheid”) vereist [[1]]. In gassen en
vloeistoffen kan de snelheid maar in één richting variëren,
nl. in de richting waarin een geluidgolf zich voortplant (een "longitudinale golf"). In vaste stoffen zijn
ook schuifkrachten mogelijk waardoor de snelheid een vector wordt met drie
componenten (dus ook "transversale golven").
We geven hier geen uitputtende beschrijving van de
wiskundige beschrijving van geluiddruk en deeltjessnelheid, er zijn talloze
boeken en pdf’s die dat doen. Maar helaas doen ze het niet allemaal even
netjes; de materie is net wat lastiger dan vaak beschreven. In deze website
wordt op meerdere plaatsen het boek genoemd van Alan D. Pierce [[2]], maar er zijn er
meer. Het boek van Pierce geldt als "moeilijk", maar om de verschijnselen echt
netjes te beschrijven is dat onontkoombaar.
Als een cosinusvormige golf zich alleen in de positieve x-richting
voortplant is die te schrijven als:
|
,
|
(1)
|
met :
|
en:
,
|
(2a, 2b)
|
waarin:
pmax
|
=
|
de maximale waarde van de geluiddruk
|
t
|
=
|
de tijd
|
x
|
=
|
de plaats, indien we uitgaan van één
dimensie
|
ω
|
=
|
de cirkelfrekwentie
|
f
|
=
|
de frekwentie
|
k
|
=
|
het golfgetal
|
λ
|
=
|
de golflengte
|
c
|
=
|
de geluidsnelheid
|
Formule (1) kan dus ook worden geschreven als:
|
.
|
(3)
|
De formules (1) en (3) leiden tot de volgende
beschouwingen:
-
De formule beschrijft een “lopende golf” in
de positieve x-richting. Het lopende deel zit in de combinaties van x
en t. Als t voortschrijdt, komen op punt x
geluiddrukken langs die afkomstig zijn van een naburige x-waarde.
-
De formule beschrijft een “vlakke golf”. De
waarde van pmax blijft gelijk tijdens de voortplanting langs
de x-as en is in y- en z-richting constant (“vlak”
dus). In de praktijk is zo’n golf niet erg reëel; meestal
vinden we golven afkomstig van bijvoorbeeld een puntbron. Dan moeten ook een y-
en een z-as worden gebruikt.
-
Toch worden vlakke, lopende golven veel gebruikt omdat er
relatief makkelijk mee te rekenen valt. Bovendien heeft de computer het
mogelijk gemaakt om golven uit puntbronnen te ontbinden in vlakke golven. De
fouriertechniek is daarbij behulpzaam.
-
De totale geluiddruk kan een som zijn van een lopende
golf in de positieve en in de negatieve richting, respectievelijk met een min-
en een plusteken. Daarmee ontstaan bijvoorbeeld staande golven.
-
De cosinusvormige golf is handig omdat er relatief eenvoudig mee te rekenen valt.
De werkelijkheid is meestal ingewikkelder, maar dergelijke geluiden zijn vrijwel
altijd uiteen te rafelen als een som van sinussen met verschillende frekwenties.
Ook hier is een fouriertransformatie onontbeerlijk [[3]]
.
-
Er wordt een constante waarde van pmax verondersteld,
gegenereerd door een continue bron. Maar bronnen kunnen variëren in sterkte (bij
spraak bijvoorbeeld) en dan is ook pmax tijdafhankelijk.
Dat soort effecten zullen we hier negeren.
Sinds Euler (1707-1783) kan er in de wiskunde
“complex” worden gerekend, al duurde het nog een eeuw voordat de
methode doordrong in de elektrotechniek en in de akoestiek. Er wordt in die
methode een imaginair deel toegevoegd aan het reële deel van de
geluiddruk:
|
,
|
(4a)
|
met
.
Het streepje onder p geeft aan dat we nu te maken hebben met een complex
getal.
Formule (4a) kan dan worden geschreven als:
|
.
|
(4b)
|
Het lijkt ingewikkeld en dat is het ook, zeker voor de
beginner. Maar formule (4b) laat zien waarom de methode toch zo populair is
onder akoestici: e-machten zijn eenvoudiger te manipuleren dan sinussen en cosinussen. De splitsing in twee afzonderlijke delen voor de
tijd en de plaats is uiteraard ook mogelijk bij een cosinus, maar het vereist
veel meer reken- en schrijfwerk.
Er wordt dus altijd gestart met een reële
waarde van de geluiddruk. Vervolgens wordt die omgezet in
een complex getal, maar aan het einde van het rekenproces moeten we weer
terug door de reële waarde te nemen. Er geldt dan:
|
,
|
(5)
|
waarin “Re” staat voor “reëel
deel” in het Nederlands of “real part” in het Engels.
De eerste handeling die meestal wordt uitgevoerd is het
verwijderen van de tijdafhankelijkheid. Dat gaat in de akoestiek met een
“root mean square”. Er wordt over een periode T geïntegreerd
en gedeeld door die periode. Er geldt algemeen:
|
.
|
(6)
|
Dit is een methode die in de akoestiek leidt tot de “effectieve geluiddruk” waarop de decibel is gebaseerd. Bij
toepassing van de integraal op de relatief eenvoudige formule (5) verdwijnt de tijdafhankelijkheid [zie
ook noot 10]; van het plaatsafhankelijke deel komt de modulus tevoorschijn. Het resultaat kan worden genoteerd als:
|
.
|
(7)
|
De modulus in de formule is altijd gelijk aan 1, zodat p(x) voor alle waarden van x hetzelfde is.
Dat is vanzelfsprekend in een lopende vlakke golf: op iedere plaats meten we dezelfde effectieve geluiddruk.
Het lijkt dus alsof de x-term wel kan worden weggelaten, maar in veel gevallen staan er binnen
de modulus meerdere termen.
Dat is bijvoorbeeld het geval bij een (akoestisch) spiegelende plaat.
Er lopen dan twee vlakke golven in tegengestelde richting
en er verschijnen twee e-machten waarvan de exponenten een
tegengesteld teken hebben. De som binnen de modulus gaat over in een cosinus die varieert tussen 0 en 2 afhankelijk van de combinatie
van k en x. De twee golven “interfereren” en er ontstaat een staande-golfpatroon.
Uit de integraal van formule (6) komt ook een verband tussen peff en pmax:
|
.
|
(8)
|
De waarde van peff is een reëel
getal en daardoor kunnen we het rechtstreeks gebruiken voor de berekening van
decibellen. Zoals eerder gesteld kan peff wel degelijk
variëren in de tijd (zoals bij spraak dus) en dus is de waarde ook
afhankelijk van het gekozen interval T. Elders in de site [[4]] wordt daar nader
op ingegaan, maar voor de rest van de huidige webpagina’s doet het niet terzake, want er wordt alleen met continue signalen gewerkt.
Behalve de geluiddruk is ook de deeltjessnelheid noodzakelijk.
Daarvoor geldt dezelfde afleiding met één uitzondering: als de
cosinus van de geluiddruk een maximum bereikt bij één t,x-combinatie,
kan het maximum van de snelheid bij een andere t,x-combinatie
liggen. Maar de waarden van ω en
k gelden bij de snelheid precies hetzelfde als bij de druk, zodat er dus een constant
faseverschil optreedt, uitgedrukt in een fasehoek φ.
De formules (3) en (7) gaan dan over in:
|
,
|
(9)
|
en:
|
.
|
(10)
|
2.2 Impedantie
Veronderstel nu een onbegrensde hoeveelheid lucht waarin
een vlakke golf loopt. Een kenmerk van zo’n golf in lucht is dat er
géén faseverschil optreedt tussen de geluiddruk p en de
deeltjessnelheid v (φ= 0). Dat kan
vanuit de basisformules worden aangetoond, maar wordt hier niet behandeld.
Het quotiënt van p en v
wordt de “karakteristieke impedantie” genoemd, door ons aangeduid
met W. Uitdeling van formules (3) en (10) levert:
|
,
|
(11)
|
waarbij de e-machten zijn verdwenen, want φ = 0.
W is dus niet
afhankelijk van x, en is daardoor een eigenschap van lucht. Dat geldt
voor alle media zoals water, staal, beton, enz. Het geldt ook in een absorptiemateriaal,
maar in dat geval wordt wel degelijk een faseverschil φ gevonden tussen p en v. W
is dus een reëel getal bij lucht, water, staal, enz., maar is door de
faseverschuiving een complexe grootheid in een absorptiemateriaal. Echter, de
grootheid x valt ook bij absorptiemateriaal uit W, zodat het ook
daar “karakteristiek” is voor het medium waarin de geluidgolf zich
voortplant.
Alweer kan vanuit de basistheorie worden afgeleid dat
geldt:
|
,
|
(12)
|
waarin ρ
staat voor de soortelijke massa van het medium en c voor de geluidsnelheid.
Voor lucht, met ρ
= 1.21 kg/m3 en c = 342 m/s (bij kamertemperatuur) geldt dus:
W = 414 rayl [[5]].
Voor water (1000 kg/m3 en 1500 m/s) is W veel groter en voor
vaste stoffen loopt W nog verder op. Verder valt op dat de grootheid
meestal niet van de frekwentie afhangt [[6]].
Voor absorptiemateriaal is W een complexe grootheid. Dan moet dus ρ
en/of c complex zij complex zijn. We komen daarop terug.
2.3 Het golfgetal bij energetische verliezen in een
materiaal
Indien een geluidgolf door een medium reist, blijft W
constant. Er kunnen echter wel degelijk verliezen in een medium optreden
waarbij trillingsenergie wordt omgezet in warmte. Bij lucht of staal zijn die
verliezen gering (maar niet nul [[7]]),
maar bij absorptiemateriaal kunnen de verliezen aanzienlijk zijn. Het betekent
dus dat p en v in gelijke mate afnemen. In de formules wordt het effect vastgelegd via het
golfgetal k. We herhalen daartoe, in iets andere notatie, formule(4b)
waaruit de tijdafhakelijkheid is verwijderd:
|
,
|
(13)
|
waarin p0 een willekeurige beginwaarde
is bij x = 0. Meestal verdwijnt die grootheid later als twee situaties worden vergeleken door deling, bijvoorbeeld een gereflecteerde golf gedeeld door de invallende golf. Verder gaan we over op de eenvoudigste schrijfwijze van p(x)
en v(x) door het weglaten van de toevoeging "(x)". Een eventuele
afhankelijkheid van x blijft echter wel degelijk bestaan. Dat blijkt
wel uit formule (13).
Eerder was k gedefinieerd als:
|
.
|
(2b, herhaald)
|
Als k een reëel getal is, blijft de
geluiddruk in een vlakke golf in een oneindig medium steeds even sterk; de
amplitude van de e-macht blijft dan altijd gelijk aan 1. Indien energetische verluiezen optreden kunnen die worden ingevoerd door k te schrijven als een complex getal met twee reële getallen kre
en kim:
|
,
|
(14)
|
waardoor formule (14) overgaat in:
|
.
|
(15)
|
Als nu weer de modulus wordt berekend zoals in formule 7
verdwijnt de tweede e-macht, maar de eerste niet. De geluiddruk neemt af met
toenemende waarde van x en de afname
wordt bepaald door kim. In lucht is kim klein
maar niet precies gelijk aan nul, want een golf die door lucht loopt verliest een
klein beetje energie, hetgeen in webpagina B.6.2 nader wordt behandeld. De
verliezen in een absorptiemateriaal (en dus kim) zijn door
wrijving van de trillende lucht aan het materiaalskelet veel groter dan in lucht.
Gelukkig maar, het is de basis van hun
functionaliteit. Op de waarden van k en W bij de gebruikelijke absorptiematerialen
komen we terug in hoofdstuk 3.
2.4 Reflectie aan de overgang tussen twee media
Veronderstel nu een grensvlak tussen twee media M1 en M2 met
karakteristieke impedanties W1 en W2.

Figuur 1: Een grensvlak tussen twee materialen. De
impedantie Z12 is in dit geval gelijk aan W2,
maar dat komt omdat de rechter zijde een halfoneindig medium bestrijkt. Bij
gelaagde constructies zullen ze verschillen.
Ergens in medium M1 bevindt zich een (technisch onbestaanbare) geluidbron die in
staat is om vlakke golven te produceren. De invallende golf op het
grensvlak wordt ten dele doorgelaten naar medium M2 en ten dele gereflecteerd.
M2 strekt zich naar rechts oneindig ver uit en daar loopt dus slechts één golf naar rechts. Die golf
voldoet aan de formules (13) t/m (16) voor de karakteristieke impedantie, en
kan zowel reëel als complex zijn.
In medium M1 gaat dat niet
meer op. Daar ontstaat een samenspel van invallende en gereflecteerde golven,
dus formule (13) bevat twee termen met een plus- en een minteken. Er treden staande golven
op waarin het faseverschil tussen
p en v groot kan zijn en per
x-waarde kan variëren. Bij pure
staande golven valt een maximum in p
samen met een minimum in v en
andersom. De verhouding tussen p en
v noemen we nu de impedantie
Z. De toevoeging “karakteristiek” is
verdwenen, want Z varieert met
x en is dus geen materiaaleigenschap
meer. Het zou dus netter zijn om Z(x) te schrijven, maar dat wordt nooit
gedaan.
Z hangt dus in medium M1 af van zowel W1 als W2.
De grootheid Z12 in figuur 1 geldt expliciet
op het grensvlak van de twee media. In figuur 1 geldt dat Z12
gelijk is aan de karakteristieke impedantie W2 van medium M2.
Maar we schrijven toch Z12 omdat zich aan de rechterzijde een
ingewikkelder constructie kan bevinden, bijvoorbeeld een plaat absorptie voor
een betonnen plaat. Dan treden ook in medium M2 heen en weer lopende golven op
en is Z12 ingewikkelder dan W2.
Later in deze webpagina zal een berekening worden
gemaakt van het vermogen dat in M2 verdwijnt in verhouding tot het invallende
vermogen. Dat is nl. de absorptiecoëfficiënt waar we naar op zoek
zijn. Dat vereist echter nog enkele tussenstappen die aan de orde moeten komen.
Het is op dit moment wel al mogelijk om de
“drukreflectiecoëfficiënt” Rp te
berekenen. Dat is de verhouding tussen de geluiddruk van de gereflecteerde golf
en de geluiddruk van de invallende golf.
De geluiddruk op het grensvlak p12 in
figuur 1 is de som van de drukken van de invallende en de gereflecteerde golf,
respectievelijk aangeduid met pi en pr. De
druk moet aan beide zijden van het grensvlak gelden. Ook de snelheid is
continu, maar de snelheid is een vector en heeft dus een plus- of minteken.
Daarom geldt:
|
en:
.
|
(16)
|
En verder geldt voor de impedanties:
Nu volgt dus na eliminatie van een aantal variabelen:
|
,
|
(18)
|
en dus:
|
.
|
(19)
|
De formule geldt algemeen indien de impedantie van de
rechterzijde bekend is. In het geval van figuur 1, met een oneindige laag aan de
rechterzijde, mag er ook W2 worden
ingevuld in plaats van Z12.
2.5 Scheve inval
De continuïteit van p en v geldt ook
als een vlakke golf scheef invalt op het grensvlak in figuur 1.
Voor p heeft de scheve inval geen consequenties, maar v is een
vector waarbij twee componenten continu moeten zijn, loodrecht en evenwijdig
aan het grensvlak. Uitwerken van de randvoorwaarden levert een aangepaste
versie van formule (19) :
|
,
|
(20)
|
waarin β
de hoek geeft tussen de normalen van golffront en grensvlak.
Als β = 0° (loodrechte inval van de golf),
vinden we formule (19) terug. Maar als β
nadert tot 90° (de golf loopt evenwijdig aan het grensvlak), wordt de
cosinus gelijk aan nul en nadert Rp tot -1 en dus dooft de
geluiddruk uit aan het oppervlak. Dat blijkt strijdig met de ervaring; het vlakke golfmodel faalt hier
[[8]]. We komen nog op
dit effect terug in een volgende webpagina.
2.6 Het vermogen van een akoestische golf
Het uiteindelijke doel van het model is om de verhouding
te berekenen van de vermogens van de invallende golf, de gereflecteerde
golf en de doorgelaten golf. De verhoudingen heten de
absorptiecoëfficiënt en de transmissiecoëfficiënt. De
transmissiecoëfficiënt bepaalt de geluidwering van een constructie en
valt dus eigenlijk buiten het bestek van deze website. We kunnen het echter
niet laten om er in het vervolg van de huidige webpagina toch aan te rekenen.
Voor het akoestisch vermogen wordt meestal gestart met de
akoestische intensiteit. Dat is het akoestisch vermogen per vierkante meter [[9]]. De intensiteit I
kan worden geschreven als:
|
.
|
(21)
|
In deze formule is p een scalar en v een
vector, waardoor ook I een vector is met dezelfde richting als v.
Er zijn in de literatuur allerlei vormen om I(t,x) te schrijven
omdat p en v vaak als complexe getallen worden geschreven. Maar
de intensiteit is altijd een reëel getal en daarom gebruiken we hier ook p
en v in hun oorspronkelijke reële vorm, gegeven in de formules (1)
en (9) als:
|
,
|
(1, herhaald)
|
en:
|
.
|
(9, herhaald)
|
De intensiteit uit formule (21) varieert dus in de tijd. Het
gaat ons echter om het vermogen door een vierkante meter gemiddeld over een tijd
die veel langer is dan de periode van de siuns. Dat geschiedt door een integratie die lijkt
op de overgang naar effectieve druk en snelheid die was gegeven in formule (6):
|
,
|
(22)
|
De uitwerking van de integraal vereist gegoochel met
sinussen en cosinussen, maar het resultaat is eenvoudig omdat er nogal wat
termen verdwijnen [[10]]:
|
.
|
(23)
|
In een vlakke golf met φ
= 0 wordt een maximale hoeveelheid energie getransporteerd; bij staande golven
waar φ nadert tot 90 graden is het
energietransport vrijwel nul.
De toevoeging van x is essentieel. In de
literatuur verdwijnt die nogal eens, maar als een golf door een absorptiemateriaal
reist kan een deel van de akoestische energie worden omgezet in warmte, zodat pmax
en vmax kleiner worden. Maar ook in de huidige webpagina
wordt nog wel eens gesproken over p en v zonder expliciet te
vermelden dat ze afhangen van x.
Het is mogelijk om nu een complexe druk en snelheid in te
voeren. Dat lijkt moeilijkdoenerij, maar het helpt ons om de impedantie binnen
de intensiteit te halen. In formules (7) en (8) was een overgang gegeven naar
een complexe weergave. Die gebruiken we hier in aangepaste vorm door voor p
en v de modulus (amplitude) te gebruiken, hetgeen reële getallen zijn.
Formule (23) gaat dan over in:
|
,
|
(24)
|
waarin p en v de eerder genoemde complexe
grootheden zijn, maar I reëel blijft omdat van p en v
de amplitude wordt genomen. De factor 2 is t.o.v. formule (23) verdwenen omdat
er een factor √2 bestaat tussen peff
en pmax en tussen veff en vmax
[[11]].
Formule (24) kan worden gerepresenteerd door twee
vectoren in het complexe vlak die een onderling faseverschil hebben gelijk aan φ.
De vectorrekening heeft voor die cosinus-functie
tussen twee vectoren het “inwendig product” uitgevonden. Als p
en v bekend zijn op een bepaalde plaats x kan dit worden
becijferd met behulp van de reële en imaginaire delen als:
|
,
|
(25)
|
waarbij dus vier reële getallen tot
één reële waarde van de intensiteit I leiden.
Er is in ons geval een tweede schrijfwijze mogelijk die
ontstaat uit de eigenschap dat de deling van twee complexe getallen
óók de verschilhoek φ
tevoorschijn brengt. Dan kan dus gebruik gemaakt worden van de impedantie. Er
geldt:
|
,
|
(26)
|
dus:
|
,
|
(27)
|
en daarin kunnen we formule (24) herkennen op een
vermenigvuldigingsfactor na. Er geldt dus voor de intensiteit ook:
|
,
|
(28a)
|
of:
|
.
|
(28b)
|
De schrijfwijze in de formules (28a) en (28b) is wat handiger
dan die van formule (25) en zal daarom in het vervolg vaker worden gebruikt.
Zoals al eerder opgemerkt is de fasehoek gelijk aan nul
in een lopende golf in een verliesvrij medium, waardoor de intensiteit maximaal
is. De impedantie is dan een reëel getal. In een staande golf nadert de
hoek tot 90° en wordt dus nauwelijks energie getransporteerd. In
absorberende materialen lopen p en v niet synchroon, waardoor
een fasehoek ontstaat (formule 27) en energetische verliezen optreden. Ook vaste stoffen hebben een
"verlieshoek", die dus de interne demping van het materiaal representeert. Een stalen plaat heeft een zeer kleine hoek en
klinkt lang na als er op geslagen wordt, rubbers zijn zeer geliefd door hun
grote verlieshoek; ze klinken ook totaal anders dan stalen platen. De "verliesfactor" (in het engels: "loss factor")
wordt vaker gebruikt dan de verlieshoek en ontstaat na deling van het imaginaire deel door het reële deel.
Of anders gezegd: de verliesfactor is de tangens van de verlieshoek.
2.7 De absorptiecoëfficiënt
Het is nu mogelijk om de absorptiecoëfficiënt
te berekenen. Daartoe herhalen we figuur 1.

Figuur 1-herhaald: Een grensvlak tussen twee materialen. De
impedantie Z12 is in dit geval gelijk aan W2,
maar dat komt omdat de rechter zijde een halfoneindig medium bestrijkt.
 
Voor de invallende golf geldt voor de intensiteit:
|
,
|
(29)
|
en voor de golf It die naar rechts
loopt:
|
,
|
(30)
|
Verder was in formule (20) de
drukreflectiecoëfficiënt afgeleid, zodat we kunnen schrijven:
|
,
|
(31)
|
waaruit na combinatie van enige formules volgt:
|
.
|
(32)
|
In de literatuur is het gebruikelijk om een iets andere formule
te gebruiken. Op grond van invallende en gereflecteerde intensiteiten wordt dan
eerst een energiereflectiecoëfficiënt Rrefl berekend
als:
|
,
|
(33)
|
Deze energiereflectiecoëfficiënt Rrefl
is een heel handige grootheid in computermodellen van zalen, maar in de
bouwpraktijk gebruikt men meestal de absorptiecoëfficiënt α
die niets anders is dan het complement, dus:
|
.
|
(34)
|
Het zou uiteraard mooi zijn als
formules (32) en (34) aan elkaar gelijk waren. Merkwaardigerwijs is dat niet
het
het geval. Formule (32) is algemener en formule (34) deugt alleen als het imaginaire deel van
W1 gelijk is aan nul.
Dan gaat formule (32) over in formule(34). Eigenlijk moeten invallende
en gereflecteerde golven uitgaan van formule (28a), maar dat wordt
zelden gedaan. Re(W1) wordt dan simpelweg vervangen door W1
= ρc, waarin ρ en c beiden reëel worden
verondersteld en formule (34) het resultaat is.
Dat betekent dus dat er links van het scheidingsvlak in
figuur 1 een medium wordt verondersteld waarvan de impedantie reëel is.
Dat is inderdaad het geval als zich links lucht bevindt of water, hetgeen in de
praktijk gebruikelijk is. Kan een geluidbron zich trouwens ook in een
absorptiemateriaal bevinden met een complexe impedantie? In dat geval zou formule
(32) de voorkeur verdienen.
Tot nu toe is nog niets gezegd over W1
= ρc. In veel bouwkundige
gevallen zullen dichtheid en geluidsnelheid gelden voor lucht en dan is W1
= 410 rayl. Maar ook onder water kunnen de formules worden gebruikt. Een
voorbeeld is de zoektocht naar absorptiematerialen die duikboten
“onhoorbaar” maken voor sonar. Dan geldt W1 =
1.5×106.
Indien een golf vanuit lucht bijvoorbeeld invalt op een
grensvalk met staal, is W1 gelijk aan 410 en Wstaal
= 7800 × 5200 ≈ 4.0 × 107.
De energiereflectiecoëfficiënt is dan gelijk aan: 0.99996. De rest
van de energie (4 × 10-5) verdwijnt in het staal [[12]]
De ontwerper van een absorberende constructie zal juist pogen
om Rrefl zo klein mogelijk te maken. Het minimum wordt
uiteraard bereikt als Zr = W1. Dat lijkt
niet zo moeilijk omdat er wel absorptiematerialen te vinden zijn die daaraan
voldoen. Probleem is echter dat zich achter een laag absorptiemateriaal meestal
een harde wand bevindt. Dan gaat het dus om het samenspel van de laagdikte, de
verliezen in het materiaal gekarakteriseerd door k en de karakteristieke impedantie W.
De invloed van de laagdikte met een harde achterlaag komt aan de orde in de
volgende webpagina.
3. Karakteristieke impedantie, stromingsweerstand, bulk
modulus
3.1 Delany & Bazley en de stromingsweerstand als
leidende grootheid
Voor de berekening van het gedrag van een geluidgolf in een
oneindig medium zijn dus kennelijk twee grootheden nodig: de karakteristieke impedantie W
en het golfgetal k. Die grootheden kunnen worden gemeten in een
impedantiebuis die is gebaseerd op de buis van Kundt die op de meeste
middelbare scholen gedemonstreerd wordt. Voor een impedantiemeting wordt in de buis aan
één zijde een materiaalmonster geplaatst en aan de andere zijde een
luidspreker. Vervolgens worden de grootte en
de plaats van de knopen en de buiken in de buis gemeten. Maar al meer dan een
eeuw wordt er onderzoek gedaan naar de onderliggende fysische mechanismen
waarmee de geluidvoortplanting in absorberende materialen kan worden berekend. Het
meten van impedanties blijft noodzakelijk, maar een goede onderliggende theorie
voorkomt dat men in het wilde weg aan materialen moet knutselen.
Een absorptiemateriaal is in eerste aanleg een materiaal
met poriën waarin lucht trilt. De trillende moleculen
ondervinden wrijving van het skelet van het materiaal waardoor mechanische
trillingsenergie wordt omgezet in warmte. In het standaardwerk van Zwikker en
Kosten uit 1949 worden vier grootheden genoemd die de eigenschappen van het
absorptiemateriaal bepalen. De meting van die grootheden vereist tamelijk
ingewikkelde apparatuur, maar in 1970 verscheen een artikel van twee Engelse
onderzoekers, Delany en Bazley, die stelden dat van die vier grootheden er
één grotendeels het akoestisch gedrag bepaalt: de
stromingsweerstand (Engels: “flow resistance” of “flow
resistivity”). Deze grootheid is van de vier het eenvoudigst te meten.
Men plaatst een monster van het materiaal in een buis, stuurt lucht door de
buis, en meet de luchtstroom door het monster en het drukverschil over het
monster. Delany en Bazley maten een groot aantal materialen die tezamen een
puntenwolk van meetuitkomsten vormden. Door die puntenwolk werd een
statistische regressielijn getrokken die in een formule kan worden uitgedrukt.
Sinds 1970 hebben vele onderzoekers nog eens kritisch gekeken
naar de uitkomsten van Delany en Bazley en er kunnen in de literatuur thans wel
tien verschillende formules worden gevonden. Dat zijn echter slechts kleine
variaties op het thema. Daarom worden de formules van Delany en Bazley nog
dagelijks gebruikt en zullen ze ook in deze site uitgebreid worden behandeld.
Zoals gezegd bestrijkt de methode van Delany en Bazley een groot deel van het
terrein. Er blijven echter gevallen genoeg waarbij de methode niet voldoet. Dan
moet worden terug gekeerd naar de vier parameters van Zwikker en Kosten of naar
modernere modellen met soms wel zes parameters. Na Zwikker en Kosten heeft vooral Allard
veel bijgedragen aan de hedendaagse kennis [[13].
Omdat W en k complexe grootheden zijn, zijn
telkens twee formules noodzakelijk, voor het reële en het imaginaire deel
afzonderlijk. Volgens de hedendaagse schrijfwijze luiden de formules van Delany en Bazley:
|
,
|
(35)
|
|
,
|
(36)
|
|
,
|
(37)
|
|
.
|
(38)
|
De getallen 0.057, 0.75, enz. komen regelrecht uit de
statistische regressielijnen die door de meetpunten van Delany en
Bazley zijn getrokken.
De waarden worden gegeven als een verhouding t.o.v. W en k
van verliesvrije lucht. Delany en Bazley introduceerden een een karakteristieke grootheid f/σ,
waarin f de frekwentie representeert en σ
de stromingsweerstand van het materiaal; ze rekenden bovendien in
centimeters en grammen. Latere
onderzoekers moderniseerden dat en maakten de grootheid dimensieloos door
ρf/σ te schrijven waarbij dus ρ, de
karakteristieke dichtheid van lucht, is toegevoegd [[14].
In de figuren 2 en 3 worden uitdraaien gegeven van de
formules (35) t/m (38). We zien dat in heel open materialen, die lijken op
vrije lucht en waar σ klein
wordt, de imaginaire delen verdwijnen en de reële delen naar 1 naderen. Dat
ligt uiteraard voor de hand.
Figuur 2: De formules (35) en (36) in grafiekvorm. De
grenzen van de horizontale as geven het gebied waarbinnen de formules volgens
Delany en Bazley mogen worden gebruikt.
Uit de formules kan worden afgeleid dat er een rechte lijn
moet ontstaat als de horizontale en verticale as logaritmisch worden uitgezet;
Delany en Bazley doen dat dan ook. Voor de horizontale as is die conventie
gevolgd want de frekwentie wordt meestal ook logaritmisch uitgezet, maar voor
de verticale as is hier een lineaire as gekozen.
Figuur 3: De formules (37) en (38) in grafiekvorm.
Zie het onderschrift van de voorgaande figuren voor meer uitleg.
3.2 De geluidsnelheid en de soortelijke massa.
De basisformules voor de karakteristieke impedantie (dus
de materiaaleigenschap) W en het golfgetal k zijn eerder gegeven
als:
|
,
en:
.
|
(12) en (2b)
herhaald
|
Hierin is W vooral van belang bij de reflectie aan
de overgang van een medium naar een aangrenzend medium en geeft k juist de
voortplanting in het medium.
Het ligt nu voor de hand om de geluidsnelheid te
berekenen uit formule (2b). Echter, formule (2b) voor het golfgetal was gegeven
voor een verliesvrij medium waarin k nog reëel was. In het complexe
geval echter moeten we de combinatie van t en x terughalen en dan
blijkt formule (2b) alleen toepasbaar als we voor k het reële
deel van het golfgetal schrijven zoals gegeven in formule (37) en getoond in
figuur 3-links. We kunnen de geluidsnelheid dus tonen als figuur 3-links wordt
omgerekend. Het resultaat staat in figuur 4. De waarde 1.0 komt overeen met de
geluidsnelheid in lucht (342 m/s) en we zien dus, vooral bij lage frekwenties een
aanzienlijk daling bij materialen met een grote stromingsweerstand.

Figuur 4: De relatieve snelheid t.o.v. de geluidsnelheid in lucht in een absorberend materiaal berekend, uit figuur 3-links voor vier verschillende waarden van de stromingsweerstand.
De karakteristieke impedantie W van een
absorberend materiaal is complex. Aangezien c reëel is, wordt dus ρ complex. Die grootheid kan worden
berekend door de genormaliseerde waarden van W en k uit de figuren
2 en 3 te vermenigvuldigen. Zonder verder commentaar wordt het resultaat
gegeven in figuur 5.
Figuur 5: De genormaliseerde soortelijke massa uit formule (12), berekend
door W en k uit de voorgaande figuren (complex) te
vermenigvuldigen [[15]].
3.3 De "bulk modulus" van een absorberend materiaal
Een apparaat voor de meting van de stromingsweerstand is
redelijk simpel, maar het is nog steeds geen standaardgereedschap op een
architectenbureau. Daarom probeerden Delany en Bazley een nog simpeler
laag aan te boren: de soortelijke massa van het absorberende materiaal
(“bulk modulus” in het Engels); een weegschaal is tenslotte altijd
wel voorhanden. In de meetuitkomsten van Delany en Bazley is de spreiding bij
de eerste stap verheugend klein en daarom wordt hun model over de hele wereld
gebruikt. De tweede stap (van stromingsweerstand naar soortelijke massa)
vertoonde meer spreiding tussen verschillende materialen. Later onderzoek
leerde dat ook die spreiding aanvaardbaar is als het type materiaal wordt
beschouwd. Figuur 6 toont het verband tussen de bulk modulus van een
materiaal en de stromingsweerstand.

Figuur 6: Het verband tussen de soortelijke massa van een
absorberend materiaal en de stromingsweerstand. De getallen zijn ontleend aan
het programma Zorba [[16]].
Uit figuur 6 blijkt dat er voor de praktijk twee
belangrijke categorieën zijn. Enerzijds zien we glas- en steenwol,
anderzijds zijn er materialen die in de praktijk meestal “wol”
worden genoemd ook al zijn ze gemaakt van kunstvezels. Glas- en steenwol vallen
daar merkwaardigerwijs weer niet onder. De eerste categorie is enigszins in het
voordeel, omdat vaak wordt gestreefd naar een relatief hoge stromingsweerstand
bij een bepaald gewicht. De oplopende lijn in de grafiek ligt nogal voor de
hand: als het aantal vezels per m3 toeneemt, stijgt de soortelijke
massa en is het ook lastiger om door het materiaal heen te blazen.
Voor de volledigheid worden de rechten uit figuur 6 hier
ook in formulevorm gegeven. Er geldt voor fibreglass/rockwool:
|
,
|
(39)
|
en voor wool/polyester:
|
,
|
(40)
|
met σ de
stromingsweerstand en bm de soortelijke massa (bulk modulus) van het
materiaal.
De hier gegeven waarde van bm is eigenlijk de soortelijke massa
van het absorptiemateriaal. Maar met nadruk moet erop worden gewezen dat deze
soortelijke massa totaal anders is dan die uit formule 12 en figuur 1. In figuur
6 zien we de soortelijke massa van het skelet, het samenstel van de vezels van het absorberend
materiaal; in figuur 1 staat de massa van de lucht tussen de vezels van
het skelet. Daarom hanteren we de grootheid bm en de term "bulk modulus".
Als de logaritmen uit formules (39) en (40) worden
verwijderd is het resultaat voor fibreglass/rockwool:
|
,
|
of omgekeerd:
|
,
|
(41a) en (41b)
|
en voor wool/polyester:
|
,
|
of omgekeerd:
|
.
|
(42a) en (42b)
|
|
vorige theoriedeel volgende
|
|