1.    Inleiding

De huidige webpagina B.3.1 behoort tot een serie van vijf (B.3.1 t/m B.3.5) die een verdieping geven van de bovenliggende webpagina “B.3 Absorberende materialen”. Het ultieme doel van deze webpagina’s is om, aan de hand van voorbeelden, een inzicht te geven in de akoestische processen die een rol spelen bij de keuze van een absorberende constructie. De voorbeelden komen als grafieken uit een rekenmodel en staan in webpagina B.3.3 voor een vlakke-plaat absorptie en in webpagina B.3.5 voor resonatoren in de vorm van gaatjesplaten of vlakke-plaatresonatoren. De webpagina’s B.3.1 en B.3.4 behandelen voorafgaand de theorie die gebruikt wordt in de rekenmodellen. Daartussen staat in B.3.2 een uitleg van het gebruikte computermodel.

2.    Theorie

2.1    Geluiddruk en deeltjessnelheid als complexe getallen

Geluid ontstaat door trillende moleculen in een medium. Dat is een gas, vloeistof of vaste stof, maar het gaat ons ook om bijvoorbeeld een gas dat is ingesloten in een vaste stof; lucht in glas- of steenwol bijvoorbeeld. Geluidtrillingen kunnen wiskundig worden beschreven met behulp van de wisselende geluiddruk. Die is in de akoestiek het meest populair omdat het oor een instrument is dat vooral de geluiddruk registreert. Echter, voor de beschrijving van geluidgolven die zich voortplanten door een akoestische constructie is de geluiddruk niet voldoende. Dan wordt ook een wiskundige beschrijving van de snelheid van de moleculen (de “deeltjessnelheid”) vereist [[1]]. In gassen en vloeistoffen kan de snelheid maar in één richting variëren, nl. in de richting waarin een geluidgolf zich voortplant (een "longitudinale golf"). In vaste stoffen zijn ook schuifkrachten mogelijk waardoor de snelheid een vector wordt met drie componenten (dus ook "transversale golven").

We geven hier geen uitputtende beschrijving van de wiskundige beschrijving van geluiddruk en deeltjessnelheid, er zijn talloze boeken en pdf’s die dat doen. Maar helaas doen ze het niet allemaal even netjes; de materie is net wat lastiger dan vaak beschreven. In deze website wordt op meerdere plaatsen het boek genoemd van Alan D. Pierce [[2]], maar er zijn er meer. Het boek van Pierce geldt als "moeilijk", maar om de verschijnselen echt netjes te beschrijven is dat onontkoombaar. 

Als een cosinusvormige golf zich alleen in de positieve x-richting voortplant is die te schrijven als:

met :

waarin:

Formule (1) kan dus ook worden geschreven als:

De formules (1) en (3) leiden tot de volgende beschouwingen:

• De formule beschrijft een “lopende golf” in de positieve x-richting. Het lopende deel zit in de combinaties van x en t. Als t voortschrijdt, komen op punt x geluiddrukken langs die afkomstig zijn van een naburige x-waarde.

• De formule beschrijft een “vlakke golf”. De waarde van p_max blijft gelijk tijdens de voortplanting langs de x­-as en is in y- en z-richting constant (“vlak” dus). In de praktijk is zo’n golf niet erg reëel; meestal vinden we golven afkomstig van bijvoorbeeld een puntbron. Dan moeten ook een y- en een z-as worden gebruikt.

• Toch worden vlakke, lopende golven veel gebruikt omdat er relatief makkelijk mee te rekenen valt. Bovendien heeft de computer het mogelijk gemaakt om golven uit puntbronnen te ontbinden in vlakke golven. De fouriertechniek is daarbij behulpzaam.

• De totale geluiddruk kan een som zijn van een lopende golf in de positieve en in de negatieve richting, respectievelijk met een min- en een plusteken. Daarmee ontstaan bijvoorbeeld staande golven.

• De cosinusvormige golf is handig omdat er relatief eenvoudig mee te rekenen valt. De werkelijkheid is meestal ingewikkelder, maar dergelijke geluiden zijn vrijwel altijd uiteen te rafelen als een som van sinussen met verschillende frekwenties. Ook hier is een fouriertransformatie onontbeerlijk [[3]] .

• Er wordt een constante waarde van p_max verondersteld, gegenereerd door een continue bron. Maar bronnen kunnen variëren in sterkte (bij spraak bijvoorbeeld) en dan is ook p_max tijdafhankelijk. Dat soort effecten zullen we hier negeren.

Sinds Euler (1707-1783) kan er in de wiskunde “complex” worden gerekend, al duurde het nog een eeuw voordat de methode doordrong in de elektrotechniek en in de akoestiek. Er wordt in die methode een imaginair deel toegevoegd aan het reële deel van de geluiddruk:

met . Het streepje onder p geeft aan dat we nu te maken hebben met een complex getal.

Formule (4a) kan dan worden geschreven als:

Het lijkt ingewikkeld en dat is het ook, zeker voor de beginner. Maar formule (4b) laat zien waarom de methode toch zo populair is onder akoestici: e-machten zijn eenvoudiger te manipuleren dan sinussen en cosinussen. De splitsing in twee afzonderlijke delen voor de tijd en de plaats is uiteraard ook mogelijk bij een cosinus, maar het vereist veel meer reken- en schrijfwerk.

Er wordt dus altijd gestart met een reële waarde van de geluiddruk. Vervolgens wordt die omgezet in een complex getal, maar aan het einde van het rekenproces moeten we weer terug door de reële waarde te nemen. Er geldt dan:

waarin “Re” staat voor “reëel deel” in het Nederlands of “real part” in het Engels.

De eerste handeling die meestal wordt uitgevoerd is het verwijderen van de tijdafhankelijkheid. Dat gaat in de akoestiek met een “root mean square”. Er wordt over een periode T geïntegreerd en gedeeld door die periode. Er geldt algemeen:

Dit is een methode die in de akoestiek leidt tot de “effectieve geluiddruk” waarop de decibel is gebaseerd. Bij toepassing van de integraal op de relatief eenvoudige formule (5) verdwijnt de tijdafhankelijkheid [zie ook noot 10]; van het plaatsafhankelijke deel komt de modulus tevoorschijn. Het resultaat kan worden genoteerd als:

De modulus in de formule is altijd gelijk aan 1, zodat p(x) voor alle waarden van x hetzelfde is. Dat is vanzelfsprekend in een lopende vlakke golf: op iedere plaats meten we dezelfde effectieve geluiddruk.

Het lijkt dus alsof de x-term wel kan worden weggelaten, maar in veel gevallen staan er binnen de modulus meerdere termen. Dat is bijvoorbeeld het geval bij een (akoestisch) spiegelende plaat. Er lopen dan twee vlakke golven in tegengestelde richting en er verschijnen twee e-machten waarvan de exponenten een tegengesteld teken hebben. De som binnen de modulus gaat over in een cosinus die varieert tussen 0 en 2 afhankelijk van de combinatie van k en x. De twee golven “interfereren” en er ontstaat een staande-golfpatroon.

Uit de integraal van formule (6) komt ook een verband tussen p_eff en p_max:

De waarde van p_eff is een reëel getal en daardoor kunnen we het rechtstreeks gebruiken voor de berekening van decibellen. Zoals eerder gesteld kan p_eff wel degelijk variëren in de tijd (zoals bij spraak dus) en dus is de waarde ook afhankelijk van het gekozen interval T. Elders in de site [[4]] wordt daar nader op ingegaan, maar voor de rest van de huidige webpagina’s doet het niet terzake, want er wordt alleen met continue signalen gewerkt.

Behalve de geluiddruk is ook de deeltjessnelheid noodzakelijk. Daarvoor geldt dezelfde afleiding met één uitzondering: als de cosinus van de geluiddruk een maximum bereikt bij één t,x-combinatie, kan het maximum van de snelheid bij een andere t,x-combinatie liggen. Maar de waarden van ω en k gelden bij de snelheid precies hetzelfde als bij de druk, zodat er dus een constant faseverschil optreedt, uitgedrukt in een fasehoek φ. De formules (3) en (7) gaan dan over in:

en:

2.2    Impedantie

Veronderstel nu een onbegrensde hoeveelheid lucht waarin een vlakke golf loopt. Een kenmerk van zo’n golf in lucht is dat er géén faseverschil optreedt tussen de geluiddruk p en de deeltjessnelheid v (φ= 0). Dat kan vanuit de basisformules worden aangetoond, maar wordt hier niet behandeld. Het quotiënt van p en v wordt de “karakteristieke impedantie” genoemd, door ons aangeduid met W. Uitdeling van formules (3) en (10) levert:

waarbij de e-machten zijn verdwenen, want φ = 0. W is dus niet afhankelijk van x, en is daardoor een eigenschap van lucht. Dat geldt voor alle media zoals water, staal, beton, enz. Het geldt ook in een absorptiemateriaal, maar in dat geval wordt wel degelijk een faseverschil φ gevonden tussen p en v. W is dus een reëel getal bij lucht, water, staal, enz., maar is door de faseverschuiving een complexe grootheid in een absorptiemateriaal. Echter, de grootheid x valt ook bij absorptiemateriaal uit W, zodat het ook daar “karakteristiek” is voor het medium waarin de geluidgolf zich voortplant.

Alweer kan vanuit de basistheorie worden afgeleid dat geldt:

waarin ρ staat voor de soortelijke massa van het medium en c voor de geluidsnelheid.

Voor lucht, met ρ = 1.21 kg/m³ en c = 342 m/s (bij kamertemperatuur) geldt dus: W = 414 rayl [[5]]. Voor water (1000 kg/m³ en 1500 m/s) is W veel groter en voor vaste stoffen loopt W nog verder op. Verder valt op dat de grootheid meestal niet van de frekwentie afhangt [[6]]. Voor absorptiemateriaal is W een complexe grootheid. Dan moet dus ρ en/of c complex zij complex zijn. We komen daarop terug.

2.3    Het golfgetal bij energetische verliezen in een materiaal

Indien een geluidgolf door een medium reist, blijft W constant. Er kunnen echter wel degelijk verliezen in een medium optreden waarbij trillingsenergie wordt omgezet in warmte. Bij lucht of staal zijn die verliezen gering (maar niet nul [[7]]), maar bij absorptiemateriaal kunnen de verliezen aanzienlijk zijn. Het betekent dus dat p en v in gelijke mate afnemen. In de formules wordt het effect vastgelegd via het golfgetal k. We herhalen daartoe, in iets andere notatie, formule(4b) waaruit de tijdafhakelijkheid is verwijderd:

waarin p₀ een willekeurige beginwaarde is bij x = 0. Meestal verdwijnt die grootheid later als twee situaties worden vergeleken door deling, bijvoorbeeld een gereflecteerde golf gedeeld door de invallende golf. Verder gaan we over op de eenvoudigste schrijfwijze van p(x) en v(x) door het weglaten van de toevoeging "(x)". Een eventuele afhankelijkheid van x blijft echter wel degelijk bestaan. Dat blijkt wel uit formule (13).

Eerder was k gedefinieerd als:

Als k een reëel getal is, blijft de geluiddruk in een vlakke golf in een oneindig medium steeds even sterk; de amplitude van de e-macht blijft dan altijd gelijk aan 1. Indien energetische verluiezen optreden kunnen die worden ingevoerd door k te schrijven als een complex getal met twee reële getallen k_re en k_im:

waardoor formule (14) overgaat in:

Als nu weer de modulus wordt berekend zoals in formule 7 verdwijnt de tweede e-macht, maar de eerste niet. De geluiddruk neemt af met toenemende waarde van x en de afname wordt bepaald door k_im. In lucht is k_im klein maar niet precies gelijk aan nul, want een golf die door lucht loopt verliest een klein beetje energie, hetgeen in webpagina B.6.2 nader wordt behandeld. De verliezen in een absorptiemateriaal (en dus k_im) zijn door wrijving van de trillende lucht aan het materiaalskelet veel groter dan in lucht. Gelukkig maar, het is de basis van hun functionaliteit. Op de waarden van k en W bij de gebruikelijke absorptiematerialen komen we terug in hoofdstuk 3.

2.4    Reflectie aan de overgang tussen twee media

Veronderstel nu een grensvlak tussen twee media M1 en M2 met karakteristieke impedanties W₁ en W₂.

Figuur 1:  Een grensvlak tussen twee materialen. De impedantie Z₁₂ is in dit geval gelijk aan W₂, maar dat komt omdat de rechter zijde een halfoneindig medium bestrijkt. Bij gelaagde constructies zullen ze verschillen.

Ergens in medium M1 bevindt zich een (technisch onbestaanbare) geluidbron die in staat is om vlakke golven te produceren. De invallende golf op het grensvlak wordt ten dele doorgelaten naar medium M2 en ten dele gereflecteerd. M2 strekt zich naar rechts oneindig ver uit en daar loopt dus slechts één golf naar rechts. Die golf voldoet aan de formules (13) t/m (16) voor de karakteristieke impedantie, en kan zowel reëel als complex zijn.

In medium M1 gaat dat niet meer op. Daar ontstaat een samenspel van invallende en gereflecteerde golven, dus formule (13) bevat twee termen met een plus- en een minteken. Er treden staande golven op waarin het faseverschil tussen p en v groot kan zijn en per x-waarde kan variëren. Bij pure staande golven valt een maximum in p samen met een minimum in v en andersom. De verhouding tussen p en v noemen we nu de impedantie Z. De toevoeging “karakteristiek” is verdwenen, want Z varieert met x en is dus geen materiaaleigenschap meer. Het zou dus netter zijn om Z(x) te schrijven, maar dat wordt nooit gedaan. Z hangt dus in medium M1 af van zowel W₁ als W₂.

De grootheid Z₁₂ in figuur 1 geldt expliciet op het grensvlak van de twee media. In figuur 1 geldt dat Z₁₂ gelijk is aan de karakteristieke impedantie W₂ van medium M2. Maar we schrijven toch Z₁₂ omdat zich aan de rechterzijde een ingewikkelder constructie kan bevinden, bijvoorbeeld een plaat absorptie voor een betonnen plaat. Dan treden ook in medium M2 heen en weer lopende golven op en is Z₁₂ ingewikkelder dan W₂.

Later in deze webpagina zal een berekening worden gemaakt van het vermogen dat in M2 verdwijnt in verhouding tot het invallende vermogen. Dat is nl. de absorptiecoëfficiënt waar we naar op zoek zijn. Dat vereist echter nog enkele tussenstappen die aan de orde moeten komen. Het is op dit moment wel al mogelijk om de “drukreflectiecoëfficiënt” R_p te berekenen. Dat is de verhouding tussen de geluiddruk van de gereflecteerde golf en de geluiddruk van de invallende golf.

De geluiddruk op het grensvlak p₁₂ in figuur 1 is de som van de drukken van de invallende en de gereflecteerde golf, respectievelijk aangeduid met p_i en p_r. De druk moet aan beide zijden van het grensvlak gelden. Ook de snelheid is continu, maar de snelheid is een vector en heeft dus een plus- of minteken. Daarom geldt:

En verder geldt voor de impedanties:

Nu volgt dus na eliminatie van een aantal variabelen:

en dus:

De formule geldt algemeen indien de impedantie van de rechterzijde bekend is. In het geval van figuur 1, met een oneindige laag aan de rechterzijde, mag er ook W₂ worden ingevuld in plaats van Z₁₂.

2.5    Scheve inval

De continuïteit van p en v geldt ook als een vlakke golf scheef invalt op het grensvlak in figuur 1. Voor p heeft de scheve inval geen consequenties, maar v is een vector waarbij twee componenten continu moeten zijn, loodrecht en evenwijdig aan het grensvlak. Uitwerken van de randvoorwaarden levert een aangepaste versie van formule (19) :

waarin β de hoek geeft tussen de normalen van golffront en grensvlak. Als β = 0° (loodrechte inval van de golf), vinden we formule (19) terug. Maar als β nadert tot 90° (de golf loopt evenwijdig aan het grensvlak), wordt de cosinus gelijk aan nul en nadert R_p tot -1 en dus dooft de geluiddruk uit aan het oppervlak. Dat blijkt strijdig met de ervaring; het vlakke golfmodel faalt hier [[8]]. We komen nog op dit effect terug in een volgende webpagina.

2.6    Het vermogen van een akoestische golf

Het uiteindelijke doel van het model is om de verhouding te berekenen van de vermogens van de invallende golf, de gereflecteerde golf en de doorgelaten golf. De verhoudingen heten de absorptiecoëfficiënt en de transmissiecoëfficiënt. De transmissiecoëfficiënt bepaalt de geluidwering van een constructie en valt dus eigenlijk buiten het bestek van deze website. We kunnen het echter niet laten om er in het vervolg van de huidige webpagina toch aan te rekenen.

Voor het akoestisch vermogen wordt meestal gestart met de akoestische intensiteit. Dat is het akoestisch vermogen per vierkante meter [[9]]. De intensiteit I kan worden geschreven als:

In deze formule is p een scalar en v een vector, waardoor ook I een vector is met dezelfde richting als v. Er zijn in de literatuur allerlei vormen om I(t,x) te schrijven omdat p en v vaak als complexe getallen worden geschreven. Maar de intensiteit is altijd een reëel getal en daarom gebruiken we hier ook p en v in hun oorspronkelijke reële vorm, gegeven in de formules (1) en (9) als:

en:

De intensiteit uit formule (21) varieert dus in de tijd. Het gaat ons echter om het vermogen door een vierkante meter gemiddeld over een tijd die veel langer is dan de periode van de siuns. Dat geschiedt door een integratie die lijkt op de overgang naar effectieve druk en snelheid die was gegeven in formule (6):

De uitwerking van de integraal vereist gegoochel met sinussen en cosinussen, maar het resultaat is eenvoudig omdat er nogal wat termen verdwijnen [[10]]:

In een vlakke golf met φ = 0 wordt een maximale hoeveelheid energie getransporteerd; bij staande golven waar φ nadert tot 90 graden is het energietransport vrijwel nul.

De toevoeging van x is essentieel. In de literatuur verdwijnt die nogal eens, maar als een golf door een absorptiemateriaal reist kan een deel van de akoestische energie worden omgezet in warmte, zodat p_max en v_max kleiner worden. Maar ook in de huidige webpagina wordt nog wel eens gesproken over p en v zonder expliciet te vermelden dat ze afhangen van x.

Het is mogelijk om nu een complexe druk en snelheid in te voeren. Dat lijkt moeilijkdoenerij, maar het helpt ons om de impedantie binnen de intensiteit te halen. In formules (7) en (8) was een overgang gegeven naar een complexe weergave. Die gebruiken we hier in aangepaste vorm door voor p en v de modulus (amplitude) te gebruiken, hetgeen reële getallen zijn. Formule (23) gaat dan over in:

waarin p en v de eerder genoemde complexe grootheden zijn, maar I reëel blijft omdat van p en v de amplitude wordt genomen. De factor 2 is t.o.v. formule (23) verdwenen omdat er een factor √2 bestaat tussen p_eff en p_max en tussen v_eff en v_max [[11]].

Formule (24) kan worden gerepresenteerd door twee vectoren in het complexe vlak die een onderling faseverschil hebben gelijk aan φ. De vectorrekening heeft voor die cosinus-functie tussen twee vectoren het “inwendig product” uitgevonden. Als p en v bekend zijn op een bepaalde plaats x kan dit worden becijferd met behulp van de reële en imaginaire delen als:

waarbij dus vier reële getallen tot één reële waarde van de intensiteit I leiden.

Er is in ons geval een tweede schrijfwijze mogelijk die ontstaat uit de eigenschap dat de deling van twee complexe getallen óók de verschilhoek φ tevoorschijn brengt. Dan kan dus gebruik gemaakt worden van de impedantie. Er geldt:

dus:

en daarin kunnen we formule (24) herkennen op een vermenigvuldigingsfactor na. Er geldt dus voor de intensiteit ook:

of:

De schrijfwijze in de formules (28a) en (28b) is wat handiger dan die van formule (25) en zal daarom in het vervolg vaker worden gebruikt.

Zoals al eerder opgemerkt is de fasehoek gelijk aan nul in een lopende golf in een verliesvrij medium, waardoor de intensiteit maximaal is. De impedantie is dan een reëel getal. In een staande golf nadert de hoek tot 90° en wordt dus nauwelijks energie getransporteerd. In absorberende materialen lopen p en v niet synchroon, waardoor een fasehoek ontstaat (formule 27) en energetische verliezen optreden. Ook vaste stoffen hebben een "verlieshoek", die dus de interne demping van het materiaal representeert. Een stalen plaat heeft een zeer kleine hoek en klinkt lang na als er op geslagen wordt, rubbers zijn zeer geliefd door hun grote verlieshoek; ze klinken ook totaal anders dan stalen platen. De "verliesfactor" (in het engels: "loss factor") wordt vaker gebruikt dan de verlieshoek en ontstaat na deling van het imaginaire deel door het reële deel. Of anders gezegd: de verliesfactor is de tangens van de verlieshoek.

2.7    De absorptiecoëfficiënt

Het is nu mogelijk om de absorptiecoëfficiënt te berekenen. Daartoe herhalen we figuur 1.

Figuur 1-herhaald: Een grensvlak tussen twee materialen. De impedantie Z₁₂ is in dit geval gelijk aan W₂, maar dat komt omdat de rechter zijde een halfoneindig medium bestrijkt.

Voor de invallende golf geldt voor de intensiteit:

en voor de golf I_t die naar rechts loopt:

Verder was in formule (20) de drukreflectiecoëfficiënt afgeleid, zodat we kunnen schrijven:

waaruit na combinatie van enige formules volgt:

In de literatuur is het gebruikelijk om een iets andere formule te gebruiken. Op grond van invallende en gereflecteerde intensiteiten wordt dan eerst een energiereflectiecoëfficiënt R_refl berekend als:

Deze energiereflectiecoëfficiënt R_refl is een heel handige grootheid in computermodellen van zalen, maar in de bouwpraktijk gebruikt men meestal de absorptiecoëfficiënt α die niets anders is dan het complement, dus:

Het zou uiteraard mooi zijn als formules (32) en (34) aan elkaar gelijk waren. Merkwaardigerwijs is dat niet het het geval. Formule (32) is algemener en formule (34) deugt alleen als het imaginaire deel van W₁ gelijk is aan nul. Dan gaat formule (32) over in formule(34). Eigenlijk moeten invallende en gereflecteerde golven uitgaan van formule (28a), maar dat wordt zelden gedaan. Re(W₁) wordt dan simpelweg vervangen door W₁ = ρc, waarin ρ en c beiden reëel worden verondersteld en formule (34) het resultaat is.

Dat betekent dus dat er links van het scheidingsvlak in figuur 1 een medium wordt verondersteld waarvan de impedantie reëel is. Dat is inderdaad het geval als zich links lucht bevindt of water, hetgeen in de praktijk gebruikelijk is. Kan een geluidbron zich trouwens ook in een absorptiemateriaal bevinden met een complexe impedantie? In dat geval zou formule (32) de voorkeur verdienen.

Tot nu toe is nog niets gezegd over W₁ = ρc. In veel bouwkundige gevallen zullen dichtheid en geluidsnelheid gelden voor lucht en dan is W₁ = 410 rayl. Maar ook onder water kunnen de formules worden gebruikt. Een voorbeeld is de zoektocht naar absorptiematerialen die duikboten “onhoorbaar” maken voor sonar. Dan geldt W₁ = 1.5×10⁶.

Indien een golf vanuit lucht bijvoorbeeld invalt op een grensvalk met staal, is W₁ gelijk aan 410 en W_staal = 7800 × 5200 ≈ 4.0 × 10⁷. De energiereflectiecoëfficiënt is dan gelijk aan: 0.99996. De rest van de energie (4 × 10^-5) verdwijnt in het staal [[12]]

De ontwerper van een absorberende constructie zal juist pogen om R­_refl zo klein mogelijk te maken. Het minimum wordt uiteraard bereikt als Z_r = W₁. Dat lijkt niet zo moeilijk omdat er wel absorptiematerialen te vinden zijn die daaraan voldoen. Probleem is echter dat zich achter een laag absorptiemateriaal meestal een harde wand bevindt. Dan gaat het dus om het samenspel van de laagdikte, de verliezen in het materiaal gekarakteriseerd door k en de karakteristieke impedantie W. De invloed van de laagdikte met een harde achterlaag komt aan de orde in de volgende webpagina.

3.    Karakteristieke impedantie, stromingsweerstand, bulk modulus

3.1    Delany & Bazley en de stromingsweerstand als leidende grootheid

Voor de berekening van het gedrag van een geluidgolf in een oneindig medium zijn dus kennelijk twee grootheden nodig: de karakteristieke impedantie W en het golfgetal k. Die grootheden kunnen worden gemeten in een impedantiebuis die is gebaseerd op de buis van Kundt die op de meeste middelbare scholen gedemonstreerd wordt. Voor een impedantiemeting wordt in de buis aan één zijde een materiaalmonster geplaatst en aan de andere zijde een luidspreker. Vervolgens worden de grootte en de plaats van de knopen en de buiken in de buis gemeten. Maar al meer dan een eeuw wordt er onderzoek gedaan naar de onderliggende fysische mechanismen waarmee de geluidvoortplanting in absorberende materialen kan worden berekend. Het meten van impedanties blijft noodzakelijk, maar een goede onderliggende theorie voorkomt dat men in het wilde weg aan materialen moet knutselen.

Een absorptiemateriaal is in eerste aanleg een materiaal met poriën waarin lucht trilt. De trillende moleculen ondervinden wrijving van het skelet van het materiaal waardoor mechanische trillingsenergie wordt omgezet in warmte. In het standaardwerk van Zwikker en Kosten uit 1949 worden vier grootheden genoemd die de eigenschappen van het absorptiemateriaal bepalen. De meting van die grootheden vereist tamelijk ingewikkelde apparatuur, maar in 1970 verscheen een artikel van twee Engelse onderzoekers, Delany en Bazley, die stelden dat van die vier grootheden er één grotendeels het akoestisch gedrag bepaalt: de stromingsweerstand (Engels: “flow resistance” of “flow resistivity”). Deze grootheid is van de vier het eenvoudigst te meten. Men plaatst een monster van het materiaal in een buis, stuurt lucht door de buis, en meet de luchtstroom door het monster en het drukverschil over het monster. Delany en Bazley maten een groot aantal materialen die tezamen een puntenwolk van meetuitkomsten vormden. Door die puntenwolk werd een statistische regressielijn getrokken die in een formule kan worden uitgedrukt.

Sinds 1970 hebben vele onderzoekers nog eens kritisch gekeken naar de uitkomsten van Delany en Bazley en er kunnen in de literatuur thans wel tien verschillende formules worden gevonden. Dat zijn echter slechts kleine variaties op het thema. Daarom worden de formules van Delany en Bazley nog dagelijks gebruikt en zullen ze ook in deze site uitgebreid worden behandeld. Zoals gezegd bestrijkt de methode van Delany en Bazley een groot deel van het terrein. Er blijven echter gevallen genoeg waarbij de methode niet voldoet. Dan moet worden terug gekeerd naar de vier parameters van Zwikker en Kosten of naar modernere modellen met soms wel zes parameters. Na Zwikker en Kosten heeft vooral Allard veel bijgedragen aan de hedendaagse kennis [[13].

Omdat W en k complexe grootheden zijn, zijn telkens twee formules noodzakelijk, voor het reële en het imaginaire deel afzonderlijk. Volgens de hedendaagse schrijfwijze luiden de formules van Delany en Bazley:

De getallen 0.057, 0.75, enz. komen regelrecht uit de statistische regressielijnen die door de meetpunten van Delany en Bazley zijn getrokken.

De waarden worden gegeven als een verhouding t.o.v. W en k van verliesvrije lucht. Delany en Bazley introduceerden een een karakteristieke grootheid f/σ, waarin f de frekwentie representeert en σ  de stromingsweerstand van het materiaal; ze rekenden bovendien in centimeters en grammen. Latere onderzoekers moderniseerden dat en maakten de grootheid dimensieloos door ρf/σ te schrijven waarbij dus ρ, de karakteristieke dichtheid van lucht, is toegevoegd [[14].

In de figuren 2 en 3 worden uitdraaien gegeven van de formules (35) t/m (38). We zien dat in heel open materialen, die lijken op vrije lucht en waar σ klein wordt, de imaginaire delen verdwijnen en de reële delen naar 1 naderen. Dat ligt uiteraard voor de hand.

Figuur 2:  De formules (35) en (36) in grafiekvorm. De grenzen van de horizontale as geven het gebied waarbinnen de formules volgens Delany en Bazley mogen worden gebruikt.

Uit de formules kan worden afgeleid dat er een rechte lijn moet ontstaat als de horizontale en verticale as logaritmisch worden uitgezet; Delany en Bazley doen dat dan ook. Voor de horizontale as is die conventie gevolgd want de frekwentie wordt meestal ook logaritmisch uitgezet, maar voor de verticale as is hier een lineaire as gekozen.

Figuur 3:  De formules (37) en (38) in grafiekvorm. Zie het onderschrift van de voorgaande figuren voor meer uitleg.

3.2   De geluidsnelheid en de soortelijke massa.

De basisformules voor de karakteristieke impedantie (dus de materiaaleigenschap) W en het golfgetal k zijn eerder gegeven als:

Hierin is W vooral van belang bij de reflectie aan de overgang van een medium naar een aangrenzend medium en geeft k juist de voortplanting in het medium.

Het ligt nu voor de hand om de geluidsnelheid te berekenen uit formule (2b). Echter, formule (2b) voor het golfgetal was gegeven voor een verliesvrij medium waarin k nog reëel was. In het complexe geval echter moeten we de combinatie van t en x terughalen en dan blijkt formule (2b) alleen toepasbaar als we voor k het reële deel van het golfgetal schrijven zoals gegeven in formule (37) en getoond in figuur 3-links. We kunnen de geluidsnelheid dus tonen als figuur 3-links wordt omgerekend. Het resultaat staat in figuur 4. De waarde 1.0 komt overeen met de geluidsnelheid in lucht (342 m/s) en we zien dus, vooral bij lage frekwenties  een aanzienlijk daling bij materialen met een grote stromingsweerstand.

Figuur 4: De relatieve snelheid t.o.v. de geluidsnelheid in lucht in een absorberend materiaal berekend, uit figuur 3-links voor vier verschillende waarden van de stromingsweerstand.

De karakteristieke impedantie W van een absorberend materiaal is complex. Aangezien c reëel is, wordt dus ρ complex. Die grootheid kan worden berekend door de genormaliseerde waarden van W en k uit de figuren 2 en 3 te vermenigvuldigen. Zonder verder commentaar wordt het resultaat gegeven in figuur 5.

Figuur 5: De genormaliseerde soortelijke massa uit formule (12), berekend door W en k uit de voorgaande figuren (complex) te vermenigvuldigen [[15]].

3.3    De "bulk modulus" van een absorberend materiaal

Een apparaat voor de meting van de stromingsweerstand is redelijk simpel, maar het is nog steeds geen standaardgereedschap op een architectenbureau. Daarom probeerden Delany en Bazley  een nog simpeler laag aan te boren: de soortelijke massa van het absorberende materiaal (“bulk modulus” in het Engels); een weegschaal is tenslotte altijd wel voorhanden. In de meetuitkomsten van Delany en Bazley is de spreiding bij de eerste stap verheugend klein en daarom wordt hun model over de hele wereld gebruikt. De tweede stap (van stromingsweerstand naar soortelijke massa) vertoonde meer spreiding tussen verschillende materialen. Later onderzoek leerde dat ook die spreiding aanvaardbaar is als het type materiaal wordt beschouwd. Figuur 6 toont het verband tussen de bulk modulus van een materiaal en de stromingsweerstand.

Figuur 6: Het verband tussen de soortelijke massa van een absorberend materiaal en de stromingsweerstand. De getallen zijn ontleend aan het programma Zorba [[16]].

Uit figuur 6 blijkt dat er voor de praktijk twee belangrijke categorieën zijn. Enerzijds zien we glas- en steenwol, anderzijds zijn er materialen die in de praktijk meestal “wol” worden genoemd ook al zijn ze gemaakt van kunstvezels. Glas- en steenwol vallen daar merkwaardigerwijs weer niet onder. De eerste categorie is enigszins in het voordeel, omdat vaak wordt gestreefd naar een relatief hoge stromingsweerstand bij een bepaald gewicht. De oplopende lijn in de grafiek ligt nogal voor de hand: als het aantal vezels per m³ toeneemt, stijgt de soortelijke massa en is het ook lastiger om door het materiaal heen te blazen.

Voor de volledigheid worden de rechten uit figuur 6 hier ook in formulevorm gegeven. Er geldt voor fibreglass/rockwool:

en voor wool/polyester:

met σ de stromingsweerstand en bm de soortelijke massa (bulk modulus) van het materiaal.

De hier gegeven waarde van bm is eigenlijk de soortelijke massa van het absorptiemateriaal. Maar met nadruk moet erop worden gewezen dat deze soortelijke massa totaal anders is dan die uit formule 12 en figuur 1. In figuur 6 zien we de soortelijke massa van het skelet, het samenstel van de vezels van het absorberend materiaal; in figuur 1 staat de massa van de lucht tussen de vezels van het skelet. Daarom hanteren we de grootheid bm en de term "bulk modulus".

Als de logaritmen uit formules (39) en (40) worden verwijderd is het resultaat voor fibreglass/rockwool:

en voor wool/polyester:

vorige    theoriedeel    volgende