1. De resonantiefrekwentie van een verend systeem zonder
wrijving
In webpagina B.3 van deze site worden o.a.
“resonatoren” genoemd als mogelijkheid om geluid te absorberen. De belangrijkste
typen zijn de “helmholtzresonator” (inclusief de gaatjesplaat) en
de “paneelresonator”. In de onderliggende delen B.3.1 t/m B.3.5 wordt
wat theorie behandeld en worden rekenvoorbeelden gegeven berekend met een
transmissiemodel. De huidige webpagina B.3.4 gaat over constructies waarin
een resonantie wordt opgewekt en de bedoeling is dan dat rond de resonantiefrekwentie
een systeem ontstaat dat geluid absorbeert.
Een ontwerper van het systeem zal
altijd starten met de berekening van die frekwentie, want daar is de absorptie
van de resonator maximaal. Echter, een ideaal resonerend systeem absorbeert nog
geen geluid; daartoe moet wrijving aan het systeem worden toegevoegd. Voor een
klein deel ontstaat die wrijving door de wrijving van de moleculen in de
trillende lucht, maar het overgrote deel van deze energetische verliezen
ontstaat in absorptiemateriaal (bijvoorbeeld glaswol, steenwol,
polyesterwol) dat aan de constructie wordt toegevoegd. Daarmee ontstaat dus een
mengvorm van een resonantiesysteem en de speciale absorberende materialen die
vooral in de webpagina’s B.3.1 en B.3.3 zijn behandeld.
In webpagina B.3.5 zal de kennis uit de huidige webpagina
worden toegelicht met een serie rekenvoorbeelden. Daar komt dan ook de toevoeging
van absorberend materiaal aan de orde; de huidige B.3.4 behandelt slechts de
theoretische aspecten van de resonantie van het systeem.
2. Een mechanisch massa-veersysteem
Figuur 1 geeft een voorbeeld van een massa-veersysteem.
Aan een starre laag wordt een veer bevestigd waaraan een massa hangt. De eigen massa
van de veer wordt daarbij verwaarloosd. Indien de massa naar beneden wordt
getrokken en wordt losgelaten ontstaat een verend systeem met één
bepaalde resonantiefrekwentie. In theorie duurt die trilling oneindig
lang maar in de praktijk zit er altijd wat wrijving in het systeem waardoor het
systeem uitdempt.

Figuur 1: Een massa-veersysteem bestaande uit een
massa (rood) en een veer (blauw) die zijn opgehangen aan een onbeweeglijke
massa (zwart). Als het systeem in trilling wordt gebracht trilt het altijd bij
dezelfde resonantiefrekwentie die wordt bepaald door de massa en de stijfheid
van de veer. Een theoretisch systeem blijft tot in het oneindige doortrillen,
in de praktijk treedt altijd enige wrijving op waardoor de trilling uitdempt.
In deze webpagina wordt de theorie achter een massa-veersysteem
niet uitgelegd. Volstaan wordt met het botweg geven van de formule voor de
resonantiefrekwentie fres:
|
.
|
(1)
|
Hierin is m de massa uit figuur 1. C is de
“compliantie” van de veer. Dat is niet de stijfheid, maar de
omgekeerde waarde daarvan. Een zeer slappe veer heeft dus een hoge waarde van C
[[1]]. De grootheid C
staat in de noemer van formule (1). Een slapper veer met grotere C leidt
dus tot een lagere resonantiefrekwentie.
De grootheid C volgt uit de wet van Hooke die
stelt dat de uitrekking van een veer evenredig is aan de kracht die op een veer
wordt uitgeoefend. Stel bijvoorbeeld dat het systeem van figuur 1 in rust
hangt. De zwaartekracht rekt de veer dan uit tot een bepaalde lengte en als we
nu de massa wat naar beneden trekken wordt een kracht toegevoegd die we ΔK zullen
noemen. De extra uitrekking van de veer noemen we Δl. Er
geldt dan:
|
,
|
(2)
|
waarbij C een grootheid is die geven wordt in
meter per Newton [[2]]
[[3]].
3. De helmholtzresonator
3.1 De resonantiefrekwentie van een helmholtzresonator
De resonantiefrekwentie van een helmholtzresonator kan op
dezelfde manier worden afgeleid. Daartoe wordt het model van figuur 2 gebruikt.
De massa wordt gevormd door een prop lucht in de “keel” die
onsamendrukbaar wordt verondersteld. De veer wordt gevormd door het afgesloten,
samendrukbare luchtvolume onder het gat. Of dat model bruikbaar is kan worden
geverifieerd door er metingen aan te verrichten. We komen daar later op terug.

Figuur 2: Het model van een helmholtzresonator. In
een plaat is een gaatje geboord waarin zich een luchtprop bevindt (in rood) die
onsamendrukbaar wordt verondersteld. De veer wordt gevormd door het samendrukbare
luchtvolume onder de plaat (blauw). Het keeloppervlak mag iedere vorm hebben en
hoeft dus niet cilindrisch te zijn.
De massa m uit formule (1) kan worden geschreven
als het volume van de keel vermenigvuldigd met de dichtheid ρ van lucht,
gelijk aan 1.21 kg/m3
bij kamertemperatuur. Er geldt dus (zie figuur 2):
|
.
|
(3)
|
De berekening van de veerconstante vergt meer werk. Stel
dat de luchtprop naar binnen wordt geduwd. De druk in de ruimte neemt toe met ΔP en de
toename van de kracht uit formule (2) kan worden geschreven als:
|
.
|
(4)
|
Evenzo kan de toename van Δl
uit formule (2) worden geschreven als een toename (dus afname met een minteken)
van het volume ΔV:
|
,
|
(5)
|
waardoor C uit formule (2) kan worden geschreven
als:
|
.
|
(6)
|
De relatie tussen P en V vormt de basis van
de gehele akoestiek. Er wordt in deze site nauwelijks aandacht aan besteed,
maar het is nu toch noodzakelijk om erop in te gaan.
In de akoestiek wordt lucht als een ideaal gas beschouwd
en metingen hebben in de afgelopen eeuwen aangetoond dat dat tot nauwkeurige
resultaten leidt, althans bij de gebruikelijke geluiddrukken. Zo’n ideaal
gas wordt gegeven door de formule:
|
,
|
(7)
|
waarin R een constante is, die afhangt van
het gekozen gas; T is de absolute temperatuur. In de tijd van Newton
werd aangenomen dat PV bij geluid constant is; de temperatuur blijft dan
gelijk en we hebben een zogenaamd “isotherm” proces [[4]]. Dat kan echter alleen
als de ontwikkelde warmte tijdens de samendrukking wordt afgevoerd en dat
blijkt in lucht onmogelijk; waar zou die warmte heen moeten? Geluidtrillingen
zijn dus eerder een “adiabatisch” proces waarbij de warmte niet
wordt afgevoerd en de temperatuur varieert met de luchttrillingen.
De thermodynamica leert dat een adiabatisch proces kan
worden geschreven als:
|
,
|
(8)
|
waarin γ =
1.4 als de verhouding van cp en cv.
Formule (8) kan worden gedifferentieerd hetgeen levert:
|
.
|
(9)
|
en na omwerking:
|
.
|
(10)
|
Nu kan formule (6) worden geschreven als:
|
,
|
(11)
|
en de resonantiefrekwentie volgens formule (1) blijkt
gelijk aan:
|
.
|
(12)
|
Formule (12) kan in de literatuur in allerlei gedaanten
met allerlei notaties worden gevonden. Eén mogelijkheid willen we hier
noemen. Het verband tussen P en V uit formule (8) leidt namelijk
ook tot de geluidsnelheid. Na omzetting van V tot de soortelijke massa ρ
kan die worden geschreven als:
|
,
|
(13)
|
zodat formule (12) overgaat in:
|
.
|
(14)
|
Onder het wortelteken blijft dus alleen de geometrie van
de helmholtzresonator over. Het getal 54.5 geldt bij de gemiddelde luchtdruk en
dichtheid op zeeniveau en bij kamertemperatuur. Onder die voorwaarden is de
geluidsnelheid gelijk aan 342 m/s. In Newtons afleiding voor de geluidsnelheid
(het isotherme proces) ontbreekt γ,
waardoor de snelheid uitkomt op 289 m/s. Bij metingen kwam een waarde van ca. 342
m/s naar voren zodat het model moest worden aangepast door toevoeging van γ.
Er zijn echter wel degelijk processen waarbij wél
warmte-uitwisseling plaats vindt, nl. als luchttrillingen plaats vinden met een
wand in de buurt. In smalle spouwen bijvoorbeeld ligt de geluidsnelheid daardoor ergens
tussen 289 en 342 m/s. Ook in de keel van een helmholtzresonator kan warmte-uitwisseling
voorkomen. Zwikker en Kosten vermelden in hun boek uit 1949 [[5]] wel een aanpassing
van de geluidsnelheid in de poriën van een absorptiemateriaal maar niet
bij een helmholtzresonator.
Bij het afregelen van de resonantiefrekwentie bevindt
zich een addertje onder het gras. Men zou intuïtief verwachten dat de
resonantiefrekwentie omlaag gaat als de grootte van A stijgt. Dan immers
neemt de massa toe van de luchtprop. Maar A staat in formule (14) in de
teller, zodat het omgekeerde effect optreedt. Ook de grootheid s doet de
massa toenemen en die staat wél in de noemer. De verklaring staat in de
formules (3) en (11). De massa van de prop neemt inderdaad toe met A
volgens formule (3), maar het effect wordt tegengewerkt door A2
in formule (11). De stijfheid van het luchtvolume stijgt als het oppervlak van
de prop toeneemt.
In webpagina B.3.1 is uitgebreid stilgestaan bij het
begrip "impedantie". Dat kan hier ook worden toegepast waarbij een
serieschakeling van de (complexe) massa en veer wordt gebruikt. In formule
(6.6) van het boek van Cox en D’Antonio wordt dat nader uitgelegd [[6]]. Daar wordt tevens
aan de massa een term toegevoegd die de (zeer kleine) wrijving in de lucht
verdisconteert. Bij de berekeningen van de volgende webpagina B.3.5 wordt de
impedantie veelvuldig gebruikt, maar hier gaan we er verder niet op in.
3.2 De gaatjesplaat als een serie van
helmholtzresonatoren
In de praktijk wordt het helmholtzprincipe vaak toegepast
in constructies met gaatjesplaten. Er is dan een serie gaatjes in de plaat en
de wanden van de volumes worden weggelaten. Er wordt dus verondersteld dat er
een symmetrisch systeem ontstaat waarbij de lucht stilstaat in denkbeeldige
scheidingsvlakken. Figuur (3) geeft een voorbeeld. Metingen hebben aangetoond dat
dat model in de praktijk opgaat.

Figuur 3: Een gaatjesplaat waarin we een serie
helmholtzresonatoren kunnen zien waarvan de tussenschotten zijn weggelaten. Op
de symmetrievlakken is de deeltjessnelheid gelijk aan nul, hetgeen ook bij een
tussenschot het geval zou zijn.
De onderste laag beweegt niet, dat is bijvoorbeeld een
dikke betonnen constructie.
Het enige dat in formule (14) hoeft te gebeuren is om de
grootheid V uit te drukken in de spouwdiepte d en de afstand van
de gaatjes. Bij een vierkant rooster van gaatjes is het volume dan gelijk aan d
× L2 en de voorgaande formules gaan over in:
|
.
|
(15)
|
De grootheid A/L2 is niets
anders dan de “openingsgraad” of “perforatiegraad” van
de gaatjesplaat. In de praktijk komt men die grootheid vaak tegen. Uit de
formule kan men afleiden dat de resonantiefrekwentie daalt bij een afnemende
openingsgraad. Dat kan een gewenst effect zijn, maar helaas blijkt er in de praktijk een grens
te bestaan. Een voorbeeld staat in de bovenliggende webpagina B.3. Een
openingsgraad van 12% gaat prima, een verlaging tot 3% levert ook nog een goed
werkend systeem, maar bij een waarde van 0.5% zakt de
absorptiecoëfficiënt tot teleurstellende waarden.
Het is wel te begrijpen waarom het misgaat. Bij een
gaatjesplaat is de deeltjessnelheid van een invallende geluidgolf nul bij de
vaste delen van de plaat. Alle energie in de invallende golf perst zich door
het gaatje. De deeltjessnelheid in een gat is daardoor gelijk aan de
deeltjessnelheid van de vrije invallende golf gedeeld door de openingsgraad en
in het genoemde voorbeeld uit B.3 is er dus een opslingering van
respectievelijk 8 maal, 33 maal en 200 maal de vrije snelheid. Het moet dus wel
ergens misgaan, al is nauwelijks te voorspellen bij welke openingsgraad het
systeem begint te falen. Dat blijkt toch vooral uit metingen.
3.3 De helmholtzresonator in 2 dimensies
In de praktijk worden gaatjesplaten zeer vaak toegepast.
Maar ook de tweedimensionale variant komt veel voor, waarbij latten evenwijdig
aan elkaar op dwarslatten worden bevestigd. Als de latten dan oneindig lang
worden gedacht, loodrecht op het vlak van tekening in figuur 3, kan formule
(15) simpelweg worden aangepast door de lengte eruit te delen. A
representeert dan de spleetbreedte en in plaats van L2 moet L
(de afstand van de latten) worden ingevuld. Beide grootheden gaan dan in m1.
3.4 Maar kloppen de formules eigenlijk wel?
Het model met een stijve luchtprop is wellicht al te
simpel? Bij nameting van de resonantiefrekwentie blijkt het niet volledig
te kloppen. Het is wel te begrijpen dat het model het beste werkt als de prop
smal is (kleine waarde van A). Bij bredere proppen is een buiging binnen de
prop mogelijk. Cox en D’Antonio laten de invloed van de breedte zien door
een correctie aan te brengen op de plaatdikte s. Als de diameter van het gat gelijk is
aan s moet een correctiefactor worden gebruikt van 1.85. Bij afnemende
gatdiameter daalt de correctiefactor tot 1.0 Genoemde aanpassing is verreweg de
belangrijkste, maar er zijn nog meer aanpassingen mogelijk [[7]].
4. Een vlakke-plaatresonator
4.1 De
resonantiefrekwentie van een oneindige plaat op een luchtlaag
In figuur 4 is een dichte plaat getekend die zich
loodrecht op het vlak van tekening oneindig uitstrekt en begrippen als massa en
compliantie moeten daardoor per vierkante meter worden uitgedrukt. De
plaatdikte is gelijk aan s, de soortelijke massa van de plaat is gelijk
aan ρplaat. Het
volume van de spouw uit de voorgaande formules verdwijnt ook en wordt
vervangen door het volume/m2 hetgeen uiteraard niets anders is dan
de spouwdiepte d.

Figuur 4: Een vlakke-plaatresonator bestaande uit een
gesloten massa (gearceerd) die veert op een luchtlaag (blauw). De onderste laag
beweegt niet, dat is bijvoorbeeld een dikke betonnen constructie.
Formule (13) gaat nu over in:
|
,
|
(16)
|
met m in kg/m2. Evenzo gaat formule
(11) over in:
|
,
|
(17)
|
waarbij nu dus eigenlijk de stijfheid van de verende
luchtlaag per m2 wordt uitgedrukt, zodat de compliantie geschreven
wordt als m3/N.
Tot slot gaat formule (15) over in:
|
,
|
(18)
|
met mplaat de massa per oppervlakte van
de resonerende plaat. Dat is in de akoestiek een veel gebruikte materiaalgrootheid,
met name bij de berekening van de geluidisolatie van voorzetwanden. De factor
60.0 verschijnt in plaats van 54.5 uit formule (15) omdat nu de soortelijke massa
van lucht ontbreekt. Er ontstaat dus een verschil van een factor √1.21.
4.2 Een vergelijking van twee constructies in een rekenvoorbeeld
In tabel 1 worden een gaatjesplaat en een
vlakke-plaatresonator van hout met elkaar vergeleken, gebruikmakend van de
formules (15) en (18). De correctieterm voor de luchtprop in een gaatje is niet
meegerekend.
Tabel 1: Een rekenvoorbeeld van een gaatjesplaat
vergeleken met een vlakke-plaatresonator.
|
gaatjesplaat
formule 15
|
vlakke-plaatresonator
formule 18
|
plaatdikte s [mm]
|
20
|
20
|
spouwdiepte d [mm]
|
100
|
100
|
soort. massa lucht [kg/m3]
|
1.21
|
|
soort. massa hout [kg/m3]
|
|
800
|
openingsgraad
|
10%
|
0
|
luchtdruk [N/m2]
|
1.01 × 105
|
1.01 × 105
|
γ
[--]
|
1.4
|
1.4
|
|
|
|
resonantiefrekwentie [Hz]
|
385
|
47
|
Veel grootheden zijn in beide gevallen gelijk. Het
belangrijkste verschil zit in de dichtheden. Voor hout moet 800 kg/m3
worden ingevuld; voor een gaatjesplaat geldt de dichtheid van lucht gedeeld
door de openingsgraad wat in dit voorbeeld dus gelijk is aan 12.1 kg/m3.
De resulterende resonantiefrekwentie voor een
gaatjesplaat bedraagt 385 Hz, die voor een houten plaat is gelijk aan 47 Hz.
Die laatste frekwentie komt voor in muziek maar niet in spraak. Daardoor worden
in de dagelijkse praktijk van klaslokalen, restaurants, enz. gaatjesplaten of
lattenconstructies veel gebruikt, maar vlakke-plaatresonatoren niet. Die komt
men tegen in muziekzalen, studio’s en huiskamers van muziekliefhebbers.
Maar er zijn in de bouwpraktijk ook “toevallige” vlakke-plaatconstructies in de vorm
van gipsplaten-plafonds en houten vloeren.
5 Maar zonder wrijving geen geluidabsorptie
In het mechanische voorbeeld van figuur 1 zagen we dat het
systeem oneindig lang doortrilt als er geen wrijving in het systeem zit. Om
demping te bereiken moet de
trillingsenergie worden omgezet in warmte. In figuur 1 wordt dit meestal
bereikt door een vloeistofcilinder toe te voegen tussen de massa en de harde
wand. In de cilinder zitten gaatjes waardoor vloeistof heen een weer wordt
gepompt als de massa trilt. De viscositeit van de vloeistof wordt zodanig
gekozen dat er maximale warmte ontstaat.
In een auto wordt zo’n demper vaak “schokbreker” genoemd maar dat
is eigenlijk een foute term. De “schok” van een gat in de weg wordt nl. opgevangen door de
veer en in een systeem zonder demping blijft de auto vervolgens langdurig
natrillen. Er wordt dus eigenlijk een “trillingsdemper” gebruikt om het
doorveren te beperken tot ca. één periode.
Ook in een helmholtzresonator of een vlakke-plaatabsorber is
wrijving noodzakelijk en die is niet van nature aanwezig. Bij de resonantiefrekwentie wordt door de resonator een geluiddruk opgewekt
die tegengesteld is aan de invallende geluiddruk. In jargon: de impedantie van
de constructie wordt dan gelijk aan nul. De totale geluiddruk aan de voorkant van de
plaat nadert daardoor ook tot nul. Dat lijkt goed nieuws en in sommige gevallen
is dat ook zo: helmholtzresonatoren worden bijvoorbeeld gebruikt in de wand van
een motoruitlaat om het uitgestraalde geluid te beperken.
Echter, in de ruimteakoestiek streeft men naar geluidabsorptie
en dan is het effect onbruikbaar. Een druk gelijk aan nul aan een grensvlak
betekent dat de reflectiecoëfficiënt gelijk is aan -1 en dat is voor het
geluidniveau in de ruimte net zo schadelijk als een harde muur met een
reflectiecoëfficiënt gelijk aan +1 [[8]]. Er ontstaan zowel bij -1 als bij +1
staande golven in de ruimte; slechts de plaats van de knopen en de buiken is
verschillend.
Om geluid te absorberen moet worden gestreefd naar een
reflectiecoëfficiënt gelijk aan nul, waardoor de geluidgolf als het ware in de
constructie verdwijnt. De impedantie van de resonator wordt gelijk aan die van
lucht. Dat wordt bereikt door wrijving aan de constructie toe te voegen, meestal
in de vorm van minerale wol of akoestisch schuim achter de vlakke plaat of de
gaatjesplaat. Alleen dan wordt het akoestisch vermogen van een invallende
geluidgolf omgezet in warmte.
Overigens zit er in een constructie altijd wel wat spontane
wrijving. Een vlakke plaat is altijd gespijkerd op rachels en dat geeft enige
wrijving. Ook de moleculen in de keel van een helmholtzresonator bewegen
dusdanig heftig dat luchtwrijving onvermijdelijk is. Bij de gebruikelijke
gaatjesplaten met een gatdiameter in de orde van een paar millimeter tot een
centimeter is dat effect gering. Maar bij veel kleinere diameters (microporeuze
materialen) kan het effect aanzienlijk zijn. Die materialen ziet men in de
praktijk dan ook wel toegepast zonder extra absorptiemateriaal al blijft het
vrijwel onmogelijk om 100% absorptie te halen.
|
vorige theoriedeel volgende
|
|