Geluidabsorptie en Wallace Clement Sabine (1868
- 1919)
Alle materialen absorberen geluid. Dat wil
zeggen: een geluidgolf die wordt gereflecteerd aan een oppervlak
verliest energie. In formulevorm wordt de verhouding tussen uitkomende
en invallende intensiteit geschreven als:
,
(1)
waarin R de energie-reflectiecoëfficiënt
is [].
In het onderstaande verhaal zal R
regelmatig worden gebruikt, maar in de praktijk is de
absorptiecoëfficiënt meer ingeburgerd [].
Die wordt gedefinieerd als een dimensieloze grootheid:
,
(2)
Twee grootheden spelen nu een allesoverheersende
rol bij de reflectie aan een oppervlak in een ruimte: de
absorptiecoëfficiënt van het oppervlak plus het eigenlijke geometrische
oppervlak S (in m2). Die twee mogen worden
vermenigvuldigd om het "absorberend oppervlak" te berekenen.
.
(3)
De grootheid gaat in m2 of in sabin.
Voor een totale ruimte vinden we nu het totaal
absorberend oppervlak door sommatie van alle oppervlakken in de ruimte:
.
(4)
De oude Grieken en Romeinen experimenteerden al
met reflectoren van diverse materialen, maar het was Sabine die in de
laatste jaren van de negentiende eeuw uitgebreide experimenten
verrichtte. Hij produceerde tonen van een orgelpijp en mat de
uitklinktijd wanneer de orgelpijptoon werd uitgezet. Sabine werd daarom
ingeschakeld bij het ontwerp van Boston Symphony Hall, maar daarvoor had
hij al pogingen gedaan om de herrie in de kantine van zijn universiteit
te beteugelen [].
Sabine's belangrijkste conclusie uit de metingen
was dat de nagalmtijd T en het totaal absorberend oppervlak A
omgekeerd evenredig zijn (we komen daarop terug). Verder bleek T
ook evenredig met het volume V van de ruimte waarin werd gemeten.
Tegenwoordig wordt Sabine's formule daarom geschreven als:
.
(5)
In het onderstaande gedeelte zal worden afgeleid
waar de factor 55.3 vandaan komt. De grootheid c vertegenwoordigt
de geluidsnelheid in lucht.
De waarde van c hangt af van de
temperatuur [].
Indien een waarde van 343 m/s wordt gekozen (die geldt bij 20º C) gaat
de formule over in:
,
(6)
hetgeen dus gelijk is aan:
,
(7)
Dit wordt in ons land meestal verbasterd tot:
.
(8)
Overigens moet er nadrukkelijk op worden gewezen
dat het getal 6 de dimensie m/s heeft. Indien in een ander stelsel wordt
gewerkt, bijvoorbeeld in Amerikaanse voeten per seconde, verandert de
geluidsnelheid en dus het getal 6 in 20.
Afleiding van de nagalmtijdformule
Thans zal worden beschreven hoe vanuit de
theorie nagalmcurven kunnen worden afgeleid. Het absolute niveau van een
continue bron komt in de volgende webpagina aan de orde.
Figuur 1: In een hoek van twee vlakken zijn drie,
en niet meer, spiegelbronnen mogelijk.
Het simpele model uit figuur 1 is al eerder
getoond om het spiegelbronnenmodel toe te lichten. Het geeft een hoek
van twee vlakken waarin een directe straal plus drie reflecties mogelijk
zijn.
Echter, in een gesloten kubus van zes vlakken
zijn oneindig veel spiegelbronnen mogelijk. In figuur 2 zijn er (in 2D)
een paar honderd getekend die ontstaan na spiegeling in de rode
kubusvormige ruimte in het centrum van de tekening. Met dit model kan de
theorie worden opgebouwd door de bronnen tussen de bolschillen op een
afstand r en r+Dr
eens nader te bekijken.
Figuur 2: Rond een kubusvormige ruimte (in
rood) waarvan de bron in het midden staat, kan een regelmatig patroon
van spiegelbronnen worden getekend.
Berekend wordt de bijdrage aan het kwadraat van
de geluiddruk p. Als op tijdstip t = 0 een energiestoot
E0 wordt uitgestuurd door de bron, komt op tijdstip t
= t0 een puls binnen. Daarbij geldt dat t0
= r/c met c de geluidsnelheid.
In een eerder deel was een formule afgeleid voor
p2. Die wordt hier gegeven als functie van de afstand
t als:
,
(9)
De constanten
r en c staan daarbij
voor de soortelijke massa en de geluidsnelheid van lucht. De
deltafunctie d
vertegenwoordigt dus de looptijd van de spiegelbron naar de mikrofoon.
De grootheid heeft de dimensie s‑1.
Formule (9) geldt voor een puntbron in de vrije
ruimte. Als er wanden, plafond en vloer aanwezig zijn moet ook de
invloed van energieverlies bij reflecties worden meegerekend:
,
(10)
waarin n het aantal reflecties weergeeft
en R dus eigenlijk een gemiddelde waarde van de
reflectiecoëfficiënten is indien niet alle oppervlakken een gelijke
absorptie hebben [].
De bedoeling is nu om de totale geluiddruk te
vinden van alle puntbronnen in de bolschil tussen r en r+Dr,
hetgeen kan worden omgezet, via c tot r en t+Dt.
Dan geldt bij optelling van de puntbronnen []:
,
(11)
Als nu alle puntbronnen in de bolschil een
gelijke waarde hebben van Rn, kan er worden
geschreven:
.
(12)
De integraal is oplosbaar; er komt niets anders
uit dan het aantal puntbronnen binnen de bolschil. Dit aantal bronnen
N in de bolschil hangt af van het volume van de bolschil, maar ook
van de grootte van de rode kubus die we karakteriseren met het volume
V in m3. Indien die groter wordt liggen de spiegelbronnen
verder uit elkaar waardoor de dichtheid daalt [].
.
(13)
Als nu alle bronnen in
de bolschil worden gesommeerd, moeten formules (12) en (13) worden
gecombineerd. We vinden dan:
,
(14)
hetgeen dus kan worden versimpeld tot :
.
(15)
De gemiddelde vrije weglengte mfp
De eenvoud van formule (15) is bedrieglijk.
Iedere bron in de bolschil heeft nl. een eigen R en n en
gedurende een eeuw zaalakoestiek is er nog niemand in geslaagd om de
integraal uit formule (11) op te lossen. Er is wel een truc (dus ook
reeds toegepast in formule 12) die in de praktijk goed blijkt te werken.
Allereerst wordt voor R de gemiddelde reflectiecoëfficiënt
genomen van alle vlakken in de kubus. Verder wordt het aantal reflecties
voor alle bronnen in de bolschil gelijk gekozen via de "gemiddelde vrije
weglengte" mfp [].
Dat is de gemiddelde afstand tussen twee doorsnijdingen van een wand
zoals getekend in figuur 3.
Figuur 3. De constructie van de gemiddelde afstand
tussen twee wanddoorsnijdingen, indien de wanden van een kubus worden
gespiegeld. Voor een kubus van 6 ×
6 × 6 m3 kan worden
becijferd dat mfp = 4 m. Die afstand is dus korter dan de 6 m van
de kubus omdat een straal soms kleine schuine stukjes afsnijdt.
De gemiddelde vrije weglengte werd
oorspronkelijk ontleend aan de statistiek; later leidde Kosten een
algemene formule af voor niet-kubische rechthoekige ruimten [].
Er geldt:
.
(16)
Formule (15) kan nu worden omgeschreven naar de
tijd door de afstand te delen door de geluidsnelheid c. Echter,
ook het aantal reflecties hangt af van de afstand en dus van de tijd. Er
staat nu:
,
(17)
hetgeen als een e-macht kan worden geschreven
als:
.
(18)
We definiëren nu een nieuwe constante:
,
(19)
waarna formule (18) kan worden geschreven als:
(20)
Nogmaals de energieverdeling en het histogram
Figuur 4 geeft een herhaling van "histogram"
zoals dat in het voorgaande deel was beschreven vanuit het stralen- en spiegelbronnemodel en zoals ze in de praktijk kunnen worden gemeten. In
de linker figuur is de verticale as logaritmisch (en tamelijk
arbitrair). Rechts is de verticale as lineair gekozen. De grootheid die
uitstaat is p2×Dt,
waarbij Dt de breedte geeft van het interval waarin de energie
wordt gesommeerd. In het geval van de figuur is daarvoor 0.02 seconde
gekozen. In het rechterdeel herkennen we min of meer een e-macht. De
afwijkingen worden veroorzaakt doordat de ruimte opzettelijk iets
afwijkt van een kubus.
Figuur 4: Het histogram (in blauw) zoals
afgeleid in het voorgaande deel, links langs een logaritmische as,
rechts langs een lineaire as. De breedte van het tijdinterval is 0.02 s.
Dat is bewust breed gekozen om de tekening duidelijker te maken. In de
praktijk zijn waarden van 1 tot 5 ms gebruikelijker.
De aanduiding langs de verticale as van de rechter
figuur is correct. Het gaat telkens om is p2×Dt.
De as van de linker figuur is daaruit ontstaan door deling door
het kwadraat van pref en het berekenen van een 10log.
De term geluidenergie is eigenlijk fout. De grootheid vertegenwoordigt
geen energie maar is er wel mee evenredig.
Als voor het tijdinterval een kleinere waarde
dan 0.02 seconde wordt gekozen wordt ook de verticale waarde van de
pulsen kleiner, zowel links als rechts. Er wordt immers minder energie
samengeveegd. Maar tevens stijgt het aantal pulsen en de som over alle
pulsen in de rechter figuur, die de totale energie in het systeem geeft,
blijft precies gelijk.
In de bovenstaande afleiding draait het om p2.
Die waarde hangt niet af van de breedte van het interval. Om nu
een totale waarde van de energie te kunnen berekenen moet worden gekeken
naar de integraal, dus het oppervlak onder de curve. Een voorstelling
als figuur 5 is dan noodzakelijk. Als het tijdinterval kleiner wordt,
stijgt het aantal rechthoekjes, maar het blauwe oppervlak blijft min of
meer gelijk.
Figuur 5: Een berekening van een curve zoals
in gestileerde vorm wordt berekend in formule (20). De integraal wordt
gegeven door het oppervlak.
Inklinken en uitklinken, de nagalmtijd
Het bovenstaande deel gaat over de responsie van
p2 op een pulsvormig geluid. Nu komt de responsie aan
de beurt op een continu signaal dat eerst aan- later wordt uitgezet. Het
uitzetten van een continue bron om de nagalm te meten is meer dan een
eeuw de methode geweest om de nagalmtijd te meten en de methode wordt
nog steeds welhaast dagelijks gebruikt.
Stel dat op tijdstip t = 0 een puntbron
wordt aangezet. De uitgezonden energie loopt dan continu op met de tijd
en voor p2 van één bepaalde puntbron kunnen we, naar
analogie van formule (9), schrijven:
,
(21)
of na differentiatie:
,
(22)
waarin W0 het akoestisch
vermogen van de bron is (in watt) en D(t0) een
sprongfunctie op tijdstip t = t0 = r/c [].
De spiegelbron springt dus ook aan, net als de bron zelf, maar een
tijdje later.
Het aantal puntbronnen in de bolschil is weer te
verwerken als bij de formules (12) tot (15), maar nu komt er
uiteindelijk uit:
,
(23)
Formule (20) gaat dan tenslotte over in:
(24)
Als de bron wordt uitgezet kunnen we de
negatieve sprong van 1 naar 0 op t = t0
schrijven als 1 - D(t0). Uitwerking levert dan
voor de laatste formule:
(25)
De oplossing van beide formules (24) en (25) is
weer goed te doen. Respectievelijk wordt gevonden:
(26)
en:
(27)
De functies zijn getekend in figuur 6.
Figuur 6: De responsie van p2 in
een ruimte als een continue bron wordt aan- en uitgezet.
In het voorgaande webdeel was de schroedercurve
geintroduceerd die een achterwaartse integraal berekent. Die kan hier
worden geschreven als:
(28)
Dat lijkt sterk op formule (27). Er geldt bij
e-machten immers:
(29)
In de meetpraktijk vinden we echter nooit mooie
e-machten. Dan verdient Schroeders methode de voorkeur.
De nagalmtijd
Ons gehoor werkt logaritmisch en de curven uit
figuur 5 worden door ons gehoor heel anders ervaren. Het inklinken
kunnen we met onze oren vrijwel niet waarnemen [],
het uitklinken ervaren we als nagalm. Als echter figuur 5 langs een
logaritmische as wordt weergegeven ontstaat het beeld dat is getekend in
figuur 6.
Figuur 7: De nagalmtijd is in dit geval zeer
lang: 8 s.
Het beeld uit deze figuur strookt veel meer met
wat wij horen. Daarom ook is de berekening van het geluiddrukniveau ons
ultieme doel:
,
(30)
In het theoretisch geval zoals hier behandeld is
de uitklinkcurve van het geluiddrukniveau lineair. Formule (27) is nu
namelijk om te schrijven tot:
,
(31)
hetgeen te splitsen is als:
(32)
De eerste term is een constante; de tweede term
leidt tot een lineair dalende curve.
Sabine definieerde uit de helling de nagalmtijd
T. Indien volgens zijn definitie het geluidniveau 60 dB was
gedaald was T bereikt. Dat betekent dus:
,
(33)
waaruit volgt:
.
(34)
Indien formules (16), (19) en (25) worden
gecombineerd vinden we:
.
(35)
Als we vervolgens R vervangen door 1 -
a, en aannemen dat c
= 343 m/s (bij 20 graden celsius), vinden we:
(36)
Dat is verbazingwekkend: de theorie leidt tot de
nagalmtijd van Eyring en niet tot Sabine's formule.
Waarom wordt Sabine's formule dan nog zoveel
gebruikt?
Eyring's formule is gepubliceerd in 1930;
Sabine's formule is dus drie decennia ouder []
en wordt geschreven als:
(37)
In Sabine's eerste artikel staat al een
afleiding die lijkt op de hier gegeven afleiding. Sabine ging echter uit
van de omgekeerde evenredigheid van T en A, hetgeen dus
niet helemaal correct is. Sabine had die evenredigheid afgeleid uit een
veelheid aan metingen.
Als a
tot nul nadert, geven beide formules dezelfde uitkomst. Echter, als
a tot 1 nadert levert
Eyring's formule de waarde nul; Sabine's formule faalt dan. Maar in de
dagelijkse praktijk zijn gemiddelde absorptiecoëfficiënten boven 40%
zeer uitzonderlijk en het is dus zeer verklaarbaar dat Sabine nooit
afwijkingen vond van zijn evenredigheid.
Het lijkt dus voor de hand te liggen om in de
hedendaagse akoestiek Eyring's formule te gebruiken en Sabine's formule
af te danken. In de praktijk echter wordt nog dagelijks de voorkeur
gegeven aan Sabine's formule. Daar zijn een paar redenen voor.
Op twee plaatsen in de afleiding is een
benadering ingevoerd:
Een ruimte met een relatief laag plafond en de
meeste absorptie op het plafond voldoet dus niet aan de voorwaarden. Er
treedt in dergelijke ruimten altijd een verlenging op van de nagalmtijd.
Eyring's formule geeft altijd een lagere nagalmtijd dan Sabine's
formule. Die waarde wordt dus in de praktijk zelden of nooit gehaald en
de wat langere nagalmtijd van Sabine blijkt wat beter met meetwaarden
overeen te stemmen.
Maar er is nog een argument om Sabine's formule
te handhaven: "iedereen gebruikt die formule". Dat is geen sterk
wetenschappelijk argument, maar geldt in de praktijk wel degelijk. De
absorptie van materialen wordt altijd gemeten in een nagalmkamer met
behulp van Sabine's formule. Dat moet zelfs van de normbladen. Zolang
iedereen zich daaraan houdt is daar weinig op tegen; soms is een
enigszins foute uniforme aanduiding in de architectuur handiger dan
tweeslachtige uitkomsten [].
De "fout" wordt dan weer ten dele goedgemaakt op het moment dat de
desbetreffende materialen daadwerkelijk op het plafond of de wanden
worden geplakt en Sabine's formule wordt gebruikt bij nameting van de
ruimte.
Overigens zijn er in de praktijk meer
nagalmformules die juist die verlenging meerekenen. De bekendste is die
van Fitzroy, maar helaas is die heel erg fout [].
Beter, maar veel ingewikkelder is de norm NEN 12354-6. We zullen daar in
andere delen van de site op terug komen.
|
vorige theoriedeel volgende
|
|