TULogo
Inleiding
A. Spreken en horen
B. Theorie
B.1 Stralenmodel
B.2 Invoed geluidabsorptie
B.3 Geluidabsorberende materialen
B.4 Absorptie in tabelvorm
B.5 Veel absorptie ?
B.6 Nagalm Niveau Spraak
B.6.1 Formule nagalmtijd
B.6.2 Luchtabsorptie
B.6.3 Meten van geluidabsorptie
B.7 Geluidverstrooiing
B.8 Geluidfragmenten
B.9 Invloed volume
B.10 Afstand bron-waarnemer
B.11 Vorm van de ruimte
B.12 Positionering absorptiemateriaal
B.13 Plafondhoogte
B.14 Wanden in een sportzaal
B.15 GR: het atrium met omgeving
B.16 Geluidvoorbeelden atrium
B.17 GR: scherm en scheidingswand
B.21 Signaal en ruis
B.22 Maten spraakverstaanbaarheid
B.23 Spreekzalen
B.24 Meerdere sprekers
B.25 Bereken direct-stoorverhouding
B.26 Lombardeffect, geluidniveau
B.27 Meerdere sprekers in atrium
B.31 Muziekzaal, theorie
C. Absorptievoorbeelden
D. Ontwerpregels
E. PDF's
F. Artikelen
G. Colofon

Nagalmtijdformules afgeleid

Sabine en Eyring



 
 

Geluidabsorptie en Wallace Clement Sabine (1868 - 1919)

Alle materialen absorberen geluid. Dat wil zeggen: een geluidgolf die wordt gereflecteerd aan een oppervlak verliest energie. In formulevorm wordt de verhouding tussen uitkomende en invallende intensiteit geschreven als:

        ,                                                                                                           (1)

 

waarin R de energie-reflectiecoëfficiënt is [[1]].

In het onderstaande verhaal zal R regelmatig worden gebruikt, maar in de praktijk is de absorptiecoëfficiënt meer ingeburgerd [[2]]. Die wordt gedefinieerd als een dimensieloze grootheid:

        ,                                                                                                          (2)

 

Twee grootheden spelen nu een allesoverheersende rol bij de reflectie aan een oppervlak in een ruimte: de absorptiecoëfficiënt van het oppervlak plus het eigenlijke geometrische oppervlak S (in m2). Die twee mogen worden vermenigvuldigd om het "absorberend oppervlak" te berekenen.

        .                                                                                                             (3)

De grootheid gaat in m2 of in sabin.

 

Voor een totale ruimte vinden we nu het totaal absorberend oppervlak door sommatie van alle oppervlakken in de ruimte:

         .                                                                     (4)

 

De oude Grieken en Romeinen experimenteerden al met reflectoren van diverse materialen, maar het was Sabine die in de laatste jaren van de negentiende eeuw uitgebreide experimenten verrichtte. Hij produceerde tonen van een orgelpijp en mat de uitklinktijd wanneer de orgelpijptoon werd uitgezet. Sabine werd daarom ingeschakeld bij het ontwerp van Boston Symphony Hall, maar daarvoor had hij al pogingen gedaan om de herrie in de kantine van zijn universiteit te beteugelen [[3]].

 

Sabine's belangrijkste conclusie uit de metingen was dat de nagalmtijd T en het totaal absorberend oppervlak A omgekeerd evenredig zijn (we komen daarop terug). Verder bleek T ook evenredig met het volume V van de ruimte waarin werd gemeten. Tegenwoordig wordt Sabine's formule daarom geschreven als:

        .                                                                                                      (5)

 

In het onderstaande gedeelte zal worden afgeleid waar de factor 55.3 vandaan komt. De grootheid c vertegenwoordigt de geluidsnelheid in lucht.

De waarde van c hangt af van de temperatuur [[4]]. Indien een waarde van 343 m/s wordt gekozen (die geldt bij 20º C) gaat de formule over in:

        ,                                                                                                     (6)

 

hetgeen dus gelijk is aan:

        ,                                                                                                      (7)

 

Dit wordt in ons land meestal verbasterd tot:

        .                                                                                                           (8)

 

Overigens moet er nadrukkelijk op worden gewezen dat het getal 6 de dimensie m/s heeft. Indien in een ander stelsel wordt gewerkt, bijvoorbeeld in Amerikaanse voeten per seconde, verandert de geluidsnelheid en dus het getal 6 in 20.

 

Afleiding van de nagalmtijdformule

Thans zal worden beschreven hoe vanuit de theorie nagalmcurven kunnen worden afgeleid. Het absolute niveau van een continue bron komt in de volgende webpagina aan de orde.

 

 

Figuur 1:  In een hoek van twee vlakken zijn drie, en niet meer, spiegelbronnen mogelijk.

 

Het simpele model uit figuur 1 is al eerder getoond om het spiegelbronnenmodel toe te lichten. Het geeft een hoek van twee vlakken waarin een directe straal plus drie reflecties mogelijk zijn.

Echter, in een gesloten kubus van zes vlakken zijn oneindig veel spiegelbronnen mogelijk. In figuur 2 zijn er (in 2D) een paar honderd getekend die ontstaan na spiegeling in de rode kubusvormige ruimte in het centrum van de tekening. Met dit model kan de theorie worden opgebouwd door de bronnen tussen de bolschillen op een afstand r en r+Dr eens nader te bekijken.

 

 

Figuur 2:  Rond een kubusvormige ruimte (in rood) waarvan de bron in het midden staat, kan een regelmatig patroon van spiegelbronnen worden getekend.

 

Berekend wordt de bijdrage aan het kwadraat van de geluiddruk p. Als op tijdstip t = 0 een energiestoot E0 wordt uitgestuurd door de bron, komt op tijdstip t = t0 een puls binnen. Daarbij geldt dat t = r/c met c de geluidsnelheid.

In een eerder deel was een formule afgeleid voor p2. Die wordt hier gegeven als functie van de afstand t als:

        ,                                                                                        (9)

 

De constanten r en c staan daarbij voor de soortelijke massa en de geluidsnelheid van lucht. De deltafunctie d vertegenwoordigt dus de looptijd van de spiegelbron naar de mikrofoon. De grootheid heeft de dimensie s‑1.

Formule (9) geldt voor een puntbron in de vrije ruimte. Als er wanden, plafond en vloer aanwezig zijn moet ook de invloed van energieverlies bij reflecties worden meegerekend:

        ,                                                                                  (10)

 

waarin n het aantal reflecties weergeeft en R dus eigenlijk een gemiddelde waarde van de reflectiecoëfficiënten is indien niet alle oppervlakken een gelijke absorptie hebben [[5]].

 

De bedoeling is nu om de totale geluiddruk te vinden van alle puntbronnen in de bolschil tussen r en r+Dr, hetgeen kan worden omgezet, via c tot r en t+Dt. Dan geldt bij optelling van de puntbronnen [[6]]:

        ,                                                                   (11)

 

Als nu alle puntbronnen in de bolschil een gelijke waarde hebben van Rn, kan er worden geschreven:

        .                                                                    (12)

 

De integraal is oplosbaar; er komt niets anders uit dan het aantal puntbronnen binnen de bolschil. Dit aantal bronnen N in de bolschil hangt af van het volume van de bolschil, maar ook van de grootte van de rode kubus die we karakteriseren met het volume V in m3. Indien die groter wordt liggen de spiegelbronnen verder uit elkaar waardoor de dichtheid daalt [[7]].

        .                                                                                                  (13)

Als nu alle bronnen in de bolschil worden gesommeerd, moeten formules (12) en (13) worden gecombineerd. We vinden dan:

        ,                                                                  (14)

 

hetgeen dus kan worden versimpeld tot :

        .                                                                                         (15)

 

 

De gemiddelde vrije weglengte mfp

De eenvoud van formule (15) is bedrieglijk. Iedere bron in de bolschil heeft nl. een eigen R en n en gedurende een eeuw zaalakoestiek is er nog niemand in geslaagd om de integraal uit formule (11) op te lossen. Er is wel een truc (dus ook reeds toegepast in formule 12) die in de praktijk goed blijkt te werken. Allereerst wordt voor R de gemiddelde reflectiecoëfficiënt genomen van alle vlakken in de kubus. Verder wordt het aantal reflecties voor alle bronnen in de bolschil gelijk gekozen via de "gemiddelde vrije weglengte" mfp [[8]]. Dat is de gemiddelde afstand tussen twee doorsnijdingen van een wand zoals getekend in figuur 3.

 

 

Figuur 3. De constructie van de gemiddelde afstand tussen twee wanddoorsnijdingen, indien de wanden van een kubus worden gespiegeld. Voor een kubus van 6 × 6 × 6 m3 kan worden becijferd dat mfp = 4 m. Die afstand is dus korter dan de 6 m van de kubus omdat een straal soms kleine schuine stukjes afsnijdt.

 

De gemiddelde vrije weglengte werd oorspronkelijk ontleend aan de statistiek; later leidde Kosten een algemene formule af voor niet-kubische rechthoekige ruimten [[9]]. Er geldt:

        .                                                                                                       (16)

 

Formule (15) kan nu worden omgeschreven naar de tijd door de afstand te delen door de geluidsnelheid c. Echter, ook het aantal reflecties hangt af van de afstand en dus van de tijd. Er staat nu:

        ,                                                                                 (17)

 

hetgeen als een e-macht kan worden geschreven als:

        .                                                                      (18)

 

We definiëren nu een nieuwe constante:

        ,                                                                                               (19)

 

waarna formule (18) kan worden geschreven als:

                                                                                    (20)

 

 

Nogmaals de energieverdeling en het histogram

Figuur 4 geeft een herhaling van "histogram" zoals dat in het voorgaande deel was beschreven vanuit het stralen- en spiegelbronnemodel en zoals ze in de praktijk kunnen worden gemeten. In de linker figuur is de verticale as logaritmisch (en tamelijk arbitrair). Rechts is de verticale as lineair gekozen. De grootheid die uitstaat is p2×Dt, waarbij Dt de breedte geeft van het interval waarin de energie wordt gesommeerd. In het geval van de figuur is daarvoor 0.02 seconde gekozen. In het rechterdeel herkennen we min of meer een e-macht. De afwijkingen worden veroorzaakt doordat de ruimte opzettelijk iets afwijkt van een kubus.

 

 

Figuur 4:  Het histogram (in blauw) zoals afgeleid in het voorgaande deel, links langs een logaritmische as, rechts langs een lineaire as. De breedte van het tijdinterval is 0.02 s. Dat is bewust breed gekozen om de tekening duidelijker te maken. In de praktijk zijn waarden van 1 tot 5 ms gebruikelijker.

De aanduiding langs de verticale as van de rechter figuur is correct. Het gaat telkens om is p2×Dt. De as van de linker figuur is daaruit ontstaan door deling door het kwadraat van pref en het berekenen van een 10log. De term geluidenergie is eigenlijk fout. De grootheid vertegenwoordigt geen energie maar is er wel mee evenredig.

 

Als voor het tijdinterval een kleinere waarde dan 0.02 seconde wordt gekozen wordt ook de verticale waarde van de pulsen kleiner, zowel links als rechts. Er wordt immers minder energie samengeveegd. Maar tevens stijgt het aantal pulsen en de som over alle pulsen in de rechter figuur, die de totale energie in het systeem geeft, blijft precies gelijk.

 

In de bovenstaande afleiding draait het om p2. Die waarde hangt niet af van de breedte van het interval. Om nu een totale waarde van de energie te kunnen berekenen moet worden gekeken naar de integraal, dus het oppervlak onder de curve. Een voorstelling als figuur 5 is dan noodzakelijk. Als het tijdinterval kleiner wordt, stijgt het aantal rechthoekjes, maar het blauwe oppervlak blijft min of meer gelijk.

 

Figuur 5:  Een berekening van een curve zoals in gestileerde vorm wordt berekend in formule (20). De integraal wordt gegeven door het oppervlak.

 

Inklinken en uitklinken, de nagalmtijd

Het bovenstaande deel gaat over de responsie van p2 op een pulsvormig geluid. Nu komt de responsie aan de beurt op een continu signaal dat eerst aan- later wordt uitgezet. Het uitzetten van een continue bron om de nagalm te meten is meer dan een eeuw de methode geweest om de nagalmtijd te meten en de methode wordt nog steeds welhaast dagelijks gebruikt.

 

Stel dat op tijdstip t = 0 een puntbron wordt aangezet. De uitgezonden energie loopt dan continu op met de tijd en voor p2 van één bepaalde puntbron kunnen we, naar analogie van formule (9), schrijven:

        ,                                                                                 (21)

 

of na differentiatie:

        ,                                                                               (22)

 

waarin W0 het akoestisch vermogen van de bron is (in watt) en D(t0) een sprongfunctie op tijdstip t = t0 = r/c [[10]]. De spiegelbron springt dus ook aan, net als de bron zelf, maar een tijdje later.

 

Het aantal puntbronnen in de bolschil is weer te verwerken als bij de formules (12) tot (15), maar nu komt er uiteindelijk uit:

        ,                                                                                      (23)

 

Formule (20) gaat dan tenslotte over in:

                                                                              (24)

 

Als de bron wordt uitgezet kunnen we de negatieve sprong van 1 naar 0 op t = t0 schrijven als 1 - D(t­0). Uitwerking levert dan voor de laatste formule:

                                                                        (25)

 

De oplossing van beide formules (24) en (25) is weer goed te doen. Respectievelijk wordt gevonden:

                                                                               (26)

 

en:

                                                                                     (27)

 

De functies zijn getekend in figuur 6.

 

 

Figuur 6:  De responsie van p2 in een ruimte als een continue bron wordt aan- en uitgezet.

 

In het voorgaande webdeel was de schroedercurve geintroduceerd die een achterwaartse integraal berekent. Die kan hier worden geschreven als:

                                                                              (28)

 

Dat lijkt sterk op formule (27). Er geldt bij e-machten immers:

                                                                             (29)

 

In de meetpraktijk vinden we echter nooit mooie e-machten. Dan verdient Schroeders methode de voorkeur.

 

De nagalmtijd

Ons gehoor werkt logaritmisch en de curven uit figuur 5 worden door ons gehoor heel anders ervaren. Het inklinken kunnen we met onze oren vrijwel niet waarnemen [[11]], het uitklinken ervaren we als nagalm. Als echter figuur 5 langs een logaritmische as wordt weergegeven ontstaat het beeld dat is getekend in figuur 6.

 

 

Figuur 7:  De nagalmtijd is in dit geval zeer lang: 8 s.

 

Het beeld uit deze figuur strookt veel meer met wat wij horen. Daarom ook is de berekening van het geluiddrukniveau ons ultieme doel:

        ,                                                                                     (30)

 

In het theoretisch geval zoals hier behandeld is de uitklinkcurve van het geluiddrukniveau lineair. Formule (27) is nu namelijk om te schrijven tot:

        ,                                                              (31)

 

hetgeen te splitsen is als:

                                                                       (32)

 

De eerste term is een constante; de tweede term leidt tot een lineair dalende curve.

Sabine definieerde uit de helling de nagalmtijd T. Indien volgens zijn definitie het geluidniveau 60 dB was gedaald was T bereikt. Dat betekent dus:

        ,                                                                                         (33)

 

waaruit volgt:

        .                                                                                      (34)

 

Indien formules (16), (19) en (25) worden gecombineerd vinden we:

        .                                                                              (35)

 

Als we vervolgens R vervangen door 1 - a, en aannemen dat c = 343 m/s (bij 20 graden celsius), vinden we:

                                                                                                    (36)

 

Dat is verbazingwekkend: de theorie leidt tot de nagalmtijd van Eyring en niet tot Sabine's formule.

 

Waarom wordt Sabine's formule dan nog zoveel gebruikt?

Eyring's formule is gepubliceerd in 1930; Sabine's formule is dus drie decennia ouder [[12]] en wordt geschreven als:

                                                                                                       (37)

 

In Sabine's eerste artikel staat al een afleiding die lijkt op de hier gegeven afleiding. Sabine ging echter uit van de omgekeerde evenredigheid van T en A, hetgeen dus niet helemaal correct is. Sabine had die evenredigheid afgeleid uit een veelheid aan metingen.

Als a tot nul nadert, geven beide formules dezelfde uitkomst. Echter, als a tot 1 nadert levert Eyring's formule de waarde nul; Sabine's formule faalt dan. Maar in de dagelijkse praktijk zijn gemiddelde absorptiecoëfficiënten boven 40% zeer uitzonderlijk en het is dus zeer verklaarbaar dat Sabine nooit afwijkingen vond van zijn evenredigheid.

 

Het lijkt dus voor de hand te liggen om in de hedendaagse akoestiek Eyring's formule te gebruiken en Sabine's formule af te danken. In de praktijk echter wordt nog dagelijks de voorkeur gegeven aan Sabine's formule. Daar zijn een paar redenen voor.

Op twee plaatsen in de afleiding is een benadering ingevoerd:

  • Er is een gemiddelde reflectiecoëfficiënt gebruikt.

  • De gemiddelde vrije weglengte is een benadering. Zelfs voor een kubus gaat het model eigenlijk al mis.

 

Een ruimte met een relatief laag plafond en de meeste absorptie op het plafond voldoet dus niet aan de voorwaarden. Er treedt in dergelijke ruimten altijd een verlenging op van de nagalmtijd. Eyring's formule geeft altijd een lagere nagalmtijd dan Sabine's formule. Die waarde wordt dus in de praktijk zelden of nooit gehaald en de wat langere nagalmtijd van Sabine blijkt wat beter met meetwaarden overeen te stemmen.

Maar er is nog een argument om Sabine's formule te handhaven: "iedereen gebruikt die formule". Dat is geen sterk wetenschappelijk argument, maar geldt in de praktijk wel degelijk. De absorptie van materialen wordt altijd gemeten in een nagalmkamer met behulp van Sabine's formule. Dat moet zelfs van de normbladen. Zolang iedereen zich daaraan houdt is daar weinig op tegen; soms is een enigszins foute uniforme aanduiding in de architectuur handiger dan tweeslachtige uitkomsten [[13]]. De "fout" wordt dan weer ten dele goedgemaakt op het moment dat de desbetreffende materialen daadwerkelijk op het plafond of de wanden worden geplakt en Sabine's formule wordt gebruikt bij nameting van de ruimte.

 

Overigens zijn er in de praktijk meer nagalmformules die juist die verlenging meerekenen. De bekendste is die van Fitzroy, maar helaas is die heel erg fout [[14]]. Beter, maar veel ingewikkelder is de norm NEN 12354-6. We zullen daar in andere delen van de site op terug komen.

 

 

vorige    theoriedeel    volgende

 

 


[1]     Die wordt meestal met een hoofdletter geschreven om een onderscheid te maken met de reflectiecoëfficiënten van geluiddruk en snelheid. Dat zijn grootheden die fundamenteler zijn dan R, maar voor de zaalakoestiek op ons niveau wordt uitsluitend met R gewerkt.

[2]     De reflectietiecoëfficiënt beschrijft de effecten gezien vanuit een waarnemer in de ruimte, en daar gaat het ten slotte om.
 De absorptiecoëfficiënt geeft niet alleen aan welk gedeelte wordt geabsorbeerd, maar ook welk gedeelte van de geluidenergie door het materiaal heen dringt. Daarom wordt in de boeken voor glas vaak een tamelijk hoge absorptiecoëfficiënt vermeld terwijl het dus eigenlijk over een transmissiecoëfficiënt gaat. R is dus een eenduidiger grootheid.

[3]     Wat is er toch aan de hand met de architectuur en/of bouwfysica dat dat honderd jaar later nog precies hetzelfde is.

[4]     Dat is dus de reden dat de formule op deze wijze wordt gegeven; de formule hangt af van de temperatuur. Bij een nauwkeurige meting wordt de temperatuur altijd gemeten.

[5]     Dat is dus geen rekenkundig maar een meetkundig gemiddelde.

[6]     Zoals al eerder gesteld is sommatie van p2 niet zonder meer correct omdat eigenlijk de geluiddrukken fasegetrouw moeten worden opgeteld. Als daar ook nog rekening mee wordt gehouden is een oplossing uit praktisch oogpunt helemaal onmogelijk. Rekenmodellen die zalen simuleren tellen soms de eerste paar reflecties fasegetrouw op en voegen daar een energetische optelling aan toe. In het SFJ-model geschiedt alle sommering energetisch.

[7]     In feite kan men twee benaderingen kiezen. De ene gaat met spiegelbronnen die worden gesommeerd, de andere met een homogene energiedichtheid van de bronnen. Die benaderingen lopen wel eens door elkaar. Bij numerieke berekeningen verdwijnt het verschil helemaal, omdat integreren dan sowieso overgaat in sommeren.

[8]     Van de Engelse term "mean free path".

[9]     Kosten, C.W, "A new method for the calculation of the rever­beration time of halls for public assembly", Acustica, 16, pp. 325-330.

[10]   In de voorgaande webpagina's was D aangeduid met S. Dat geeft hier verwarring omdat het symbool S al wordt gebruikt.

[11]   In een nagalmkamer gaan in- en uitklinken zo langzaam dat het inklinken wel degelijk te horen is.

[12]   In de literatuur en op het internet treft men nogal eens de jaartallen 1921 of 1922 aan als publicatie van Sabine's absorptiewet. Dat is onzin. Sabine stierf in 1919 en zijn collega's bezorgden in 1922 zijn "collected papers". Dat boekwerk is gewoon te leen, bijvoorbeeld uit de bibliotheek van de TU Delft. We lezen daarin dat Sabine vooral in architectenbladen heeft gepubliceerd. De eerste traceerbare publicatie is uit 1898 in de "Proceedings of the American Institute of Architects". Hetzelfde artikel, maar nu iets meer uitgekristalliseerd verschijnt in 1900 in "The American Architect".
Op grond van metingen leidt Sabine een verhouding af van 0.171×V  tussen T en A, waarbij we heden ten dage 0.161 schrijven. Wikipedia noemt dat "inaccurate by present standards" maar ook dat is onzin, want menig hedendaagse akoesticus is dolblij als een nauwkeurigheid van 6% wordt gehaald.

Het artikel uit 1898 staat niet in de collected papers, het artikel uit 1900 wel. Daarom wordt 1900 wel als geboortejaar van Sabine's wet genoemd, maar wellicht komt 1898 nog dichter bij de waarheid.

[13]   Gemeten waarden van a groter dan 1 zijn voor een deel op het gebruik van Sabine terug te voeren. Eyring is daar wat minder gevoelig voor.

[14]   Het verhaal in Fitzroy's publicatie klinkt logisch; bij een langere maat van de ruimte neemt de nagalmtijd toe. In zijn formule neemt de nagalmtijd echter af als de lengte toeneemt. Is hier wellicht sprake van een eenvoudige verschrijving in het artikel?