Korte inhoud van het voorafgaande
In een voorgaande webpagina (B.10.1,
Geluiddrukniveau) is het geluiddrukniveau in een ruimte
afgeleid als:
(1)
met:
LW = het
akoestisch vermogenniveau van de bron,
r
= de afstand tussen bron en mikrofoon,
Q = de
richtingscoëfficiënt van de bron,
a
= de gemiddelde absorptiecoëfficiënt van de gehele ruimte,
A = het
totaal absorberend oppervlak.
De rechterkant van de formule bevat twee
termen waarvan de eerste het directe geluid vertegenwoordigt. De
sterkte is onafhankelijk van de ruimte, maar wordt wel steeds lager
indien de afstand toeneemt. De tweede term hangt juist uitsluitend
af van de gegevens van de ruimte en niet van de afstand.
Figuur 1 toont de twee termen plus hun logaritmische som.
Figuur 1: De curven uit formule (1). De
rode curve geldt indien alleen de eerste term wordt meegerekend, de
groene curve is voor de tweede term. Indien beide termen worden
opgeteld ontstaat de zwarte curve.
Strijdigheid van theorie en praktijk
Zoals elders gesteld is de zwarte curve uit
figuur 1 strijdig met de alledaagse ervaring; de curve blijft in werkelijkheid dalen
met toenemende afstand. De theorie van Michael Barron, die dat afnemende effect
beschrijft, zal thans nader worden verklaard [[1]].
In figuur 2 staat de responsie van een ruimte
op een puls. Eerst komt het (rode) directe geluid bij de toehoorder binnen,
dan het galmveld. Zie daartoe webpagina
B.10.1 Geluiddrukniveau.
Figuur 2: Het model waarbij eerst de
directe energie de mikrofoon bereikt en vervolgens de reflecties van
de wanden de mikrofoon bereiken.
De bijbehorende formule voor het
geluiddrukniveau werd daar geschreven als:
.
(2)
Formule (1) is een uitwerking van formule
(2). De eerste term binnen de haakjes is precies gelijk in beide
formules. De tweede term in formule (1) wordt gevonden als in
formule (2) een paar substituties worden uitgevoerd.
Allereerst geldt:
,
(3a)
en voor de gemiddelde vrije weglengte mfp:
.
(3b)
De aanpak om formules (3a) en (3b) in
formule (2) te substitueren stamt uit de jaren dertig van de vorige
eeuw. De grootheid tdir in figuur 1 is dus
eigenlijk variabel gekozen en afhankelijk van de afstand r
tussen bron en mikrofoon, maar t0 was dusdanig
gekozen dat de bijbehorende afstand gelijk was aan de gemiddelde
vrije weglengte mfp, waardoor een vrij simpel verband
ontstaat:
(4)
en formule (2) overgaat in formule (1).
Nu kiest Barron voor de grootheid to de looptijd tussen bron en mikrofoon:
,
(5)
zodat formule (3a) overgaat in:
.
(5)
De vervanger van formule (1) wordt dus:
,
(6)
zodat nu ook de tweede term van de afstand
afhangt.
Zoals het hoort zijn de twee formules (1) en
(6) gelijk indien r = mfp. Het is interessant om te
zien dat voor r = 0 geldt:
.
(7)
In feite is het model uit figuur 1 te
tekenen als in figuur 3, waarin dus de aanvang van het galmveld
samenvalt met het direct. Er zit dus geen ruimte tussen direct
en galm. In de praktijk klopt dat eigenlijk ook altijd wel. De
reflecties van vloer, stoelen, tafels, e.d. komen altijd vlak na het
direct. Slechts in rekenmodellen is een scheiding terug te vinden.
Figuur 3: In Barrons model vallen de
aankomst van direct en eerste reflecties samen.
Barrons eigen schrijfwijze
Het is ook mogelijk om te schrijven:
,
(8a)
waardoor:
,
(8a)
en formule (6) overgaat in:
.
(9)
Dit is Barrons eigen formule waarbij
eigenlijk in het midden wordt gelaten of Eyring's dan wel Sabine's
nagalmtijd moet worden genomen. Onze afleiding is expliciet
gebaseerd op de nagalmtijd van Eyring.
Consequenties voor de praktijk, een
voorbeeld
In figuur 4 wordt een voorbeeld uitgewerkt door formule
(9) uit te zetten als functie van de afstand. Daarbij worden twee
situaties doorgerekend voor een laag en een hoog plafond. De
geometrische gegevens staan in tabel 1.
Tabel 1: Een vergelijking van twee ruimten met hetzelfde
vloeroppervlak maar een sterk verschillende hoogte.
|
|
Laag plafond
|
Hoog plafond
|
|
Lengte
|
20
|
20
|
|
Breedte
|
20
|
20
|
|
Hoogte
|
3.5
|
10
|
|
Abs. coeff.
|
0.32
|
0.32
|
|
Volume
|
1400
|
4000
|
|
Oppervlak geometrisch
|
1080
|
1600
|
|
Opervlak absorberend
A
|
346
|
512
|
|
Nagalmtijd T
|
0.65
|
1.25
|
|
Gem. vrije weglengte
mfp
|
5.2
|
10
|
Figuur 4: Het geluiddrukniveau in een ruimte
van 20 × 20 × 3.5 m3 (links) en in een ruimte waarin
de hoogte veel groter is: 20 × 20 × 10 m3 (rechts). De
zwarte curven geven de klassieke theorie volgens formule (1); de
rode curven staan voor Barrons theorie, formules
(6) of (9).
De allereerste regel die we afleiden is: bij lage
absorptiecoëfficiënten is de invloed van Barrons aanpassing
uiterst gering. De verschillen bij 8% tussen de Barroncurven en de
conventionele theorie blijven beperkt tot hooguit twee dB. Bij
hogere absorptiecoëfficiënten (32%) treden er ineens wel verschillen
op.
Indien een ruimte hoger wordt, bij
gelijkblijvende gemiddelde absorptiecoëfficiënt [],
stijgt het geometrisch oppervlak en daardoor het absorberend
oppervlak A. De tweede term in formule (9) wordt daardoor
kleiner. Dat gold trouwens ook al in formule (1); ook in de
klassieke theorie wordt het geluiddrukniveau lager. Dat is te zien
aan de verticale waarde van de zwarte curven, die links hoger liggen
dan rechts.
In de grotere zaal is ook de gemiddelde
vrije weglengte mfp groter. Dat betekent dat de invloed van
Barrons theorie daar pas op grotere afstand begint door te werken.
In de linker figuur is de rode curve dus lager dan de zwarte boven
ca. 6 m; in de rechter figuur geldt dat boven 12 m [].
De rechter situatie hoort meer bij een muziekzaal, inclusief de twee
dB verschil op de achterste rij die Barron zelf rapporteerde voor
zalen. De linker figuur hoort veel meer bij bijvoorbeeld een
restaurant. De vijf dB verschil op grotere
afstand van de bron tussen de klassieke theorie en Barron is dan vaak een zegen.
|
vorige theoriedeel volgende |
|