De Sabine-Franklin-Jaeger-theorie geldt
voor een kubus
In de voorgaande theoriedelen
gemeld dat de theorie van Sabine-Franklin-Jaeger een benadering
geeft die de beste resultaten geeft in een kubusvormige ruimte.
Een rechthoekige ruimte die afwijkt van een kubus wordt op twee
manieren "gestraft":
-
De geluidniveaus zijn hoger dan
voorspeld door de theorie,
-
De nagalmcurve wijkt af van de
voorspelde rechte lijn, waardoor de nagalmtijden anders zijn dan
voorspeld.
In de literatuur wemelt het van de
alternatieve formules voor het tweede punt, waarvan sommige knap
ingewikkeld zijn. Merkwaardig is dat voor het eerste punt geen
alternatieve formules zijn ontwikkeld, terwijl er toch velerlei
situaties zij (restaurants, sportzalen, enz.) waar het
geluidniveau belangrijker is dan de nagalmtijd.
We zullen deze twee onderdelen in
afzonderlijke theoriedelen behandelen. Thans komt het
geluiddrukniveau aan de beurt, in het volgende deel de
nagalmcurve.
Wat gebeurt er als we een kubus
vervormen?
In figuur 1 is links een kubusvormige
ruimte getekend waarvan de ribben gelijk zijn aan L. Het
aantal spiegelbronnen is oneindig groot; er zijn er drie
getekend. Zowel de rode als de blauwe komen na één reflectie tot
stand, de zwarte geldt bij twee reflecties.
Figuur 1: Een kubusvormige ruimte
(links) en een ruimte waarvan de lengte twee maal zo groot wordt
en de hoogte wordt gehalveerd. De breedte (niet getekend) blijft
gelijk.
De bijdrage aan het kwadraat van de
geluiddruk p kan in de linker figuur, voor zowel de
blauwe als de rode bron, worden geschreven als:
.
(1)
met:
r
= dichtheid van lucht
c =
geluidsnelheid
W0 =
continu vermogen van de bron
R =
de energie-reflectiecoëfficiënt van alle wanden []
L =
de lengte van de ribbe van de kubus.
Het totale geluiddrukniveau Lp
kan hieruit worden afgeleid en is volgens de SFJ-theorie gelijk
aan:
.
(2)
met
.
(3)
en:
LW =
akoestisch vermogen van de bron
S =
totale oppervlak van de wanden
In het rechterdeel van figuur 1 wordt de
kubus vervormd tot een rechthoekige ruimte. De lengte wordt
tweemaal zo groot, de breedte (niet getekend) blijft gelijk en
de hoogte wordt gehalveerd. We houden de reflectiecoëfficiënt
R gelijk voor alle wanden.
In de SFJ-theorie volgens formule (2)
gebeurt er maar één ding: het totale oppervlak wordt groter.
Voor de kubus in de linker figuur geldt:
,
(4a)
maar voor de rechter ruimte geldt:
.
(4b)
Dat betekent dus dat, ten opzichte van
de kubus, de grootte van het geometrisch oppervlak stijgt en
daardoor het geluiddrukniveau volgens formule (2) daalt.
Echter, volgens het spiegelbronnenmodel
gebeuren er andere dingen. De afstand van de rode bron wordt
gehalveerd, waardoor het vermogen volgens formule (1) wordt
verviervoudigd. De bijdrage aan het vermogen van de blauwe bron
wordt daarentegen vier maal zo klein. In totaal vinden we bij
vergelijking tussen links en rechts dus dat het vermogen in het
rechter geval groter is omdat:
,
(5)
zodat het geluiddrukniveau dus stijgt.
Uiteraard passen we het model nu alleen toe op de bronnen die
slechts eenmaal hebben gereflecteerd, maar het is voorlopig wel
aan te voelen dat de bronnen op grotere afstand het effect niet
kunnen compenseren.
Voor zover valt na te gaan is er in de
literatuur nog nooit een gesloten oplossing gevonden voor een
berekening van de som over alle spiegelbronnen [],
noch als som, noch als integraaloplossing en ook ons is het niet
gelukt. Sommige integralen zijn nu eenmaal onoplosbaar en we
moeten vrezen dat dit probleem daar bij hoort. Anderzijds is een
numerieke berekening een peulenschil. Het resultaat staat in
figuur 2.
In de linker figuur zijn een paar
numerieke exercities gepleegd aan de vorm van de ruimte die
langs de horizontale as is uitgezet. Links wordt gestart met een
kubus van 8 × 8 × 8
m3. Dan wordt de lengte tweemaal zo groot en de
hoogte tweemaal zo klein, waardoor een ruimte van 16 × 8 × 4
m3 ontstaat. Die verdubbeling wordt nog eens tweemaal
herhaald. In de rechter figuur wordt weer het volume constant
gehouden [],
maar nu zijn er telkens twee dimensies gelijk gehouden. We zien
daardoor links corridor-achtige ruimten []
en rechts vierkante zalen met een laag plafond.
Op het eerste gezicht lijkt een ruimte
van 64 × 8 × 1
m3 alleen geschikt om in te kruipen. Maar het gaat in
alle modellen eigenlijk om de verhouding tussen de
afmetingen. Alle formules, zowel voor Sabine als voor het
spiegelbronnenmodel mogen nl. worden geschaald. Bij een
halvering van de ruimte met een factor 2 moet er 6.0 dB bij het
geluiddrukniveau worden opgeteld; dus bijvoorbeeld:
.
(6)
Desondanks zullen sommige ruimten niet
vaak in de praktijk worden gevonden.
Figuur 2: Het geluidrukniveau als functie
van de vorm van een rechthoekige ruimte. De rode lijnen geven de
klassieke SFJ-theorie, de blauwe lijnen geven de resultaten van
een spiegelbronnenmodel. Alle berekeningen zijn uitgevoerd met LW
= 70; dat is ongeveer de sterkte van normale spraak. De
afstand tussen bron en ontvanger is gelijk gekozen aan mfp,
die dus met de vorm verandert.
Gestart is met het homogene geval,
waarbij dus alle wanden dezelfde reflectiecoëfficiënt R
hebben, gelijk aan 0.9, 0.8 en 0.6, zodat dus de
absorptiecoëfficiënten respectievelijk 10, 20 en 40% zijn. In
alle gevallen is het volume constant gehouden en is de ruimte
steeds verder uitgerekt.
De rode punten geven de uitkomsten van
de SJF-theorie, de blauwe komen uit het spiegelbronnenmodel en
de conclusie uit figuur 2 is dat de SFJ-theorie een dalende
tendens voorspelt bij afwijkingen van een kubus. Het
spiegelbronnenmodel toont juist een stijgende tendens.
Inhomogene verdeling van absorptie over
de ruimte
Ruimten waarin alle vlakken dezelfde
absorptiecoëfficiënt hebben bestaan in de dagelijkse praktijk
niet. Daarom is ook het inhomogene geval doorgerekend.
Van theoretische berekeningen kunnen in de literatuur wel
voorbeelden worden gevonden. Kuttruff []
en Pierce []
berekenen het effect met stralingsmodellen afkomstig uit de
warmtetheorie. Die modellen gaan uit van diffuus stralende
vlakken, waarna slechts kleine veranderingen worden gevonden van
het geluiddrukniveau. Het spiegelbronnenmodel gaat juist uit van
het tegenoverliggende model (volledige spiegeling), maar ook
hier zijn de verschillen klein.
In figuur 3 zien we een berekening
waarbij het grootste deel van de absorptie op het plafond zit en
de vloer weinig absorbeert. Qua vorm (dus de onderlinge
verhoudingen) wordt hier dus gedacht aan een sportzaal.
Figuur 3: Inhomogene verdeling van
absorptie. De absorptiecoëfficiënten zijn van boven naar beneden
gelijk aan 10%, 20% en 40%. De vloer heeft steeds 5% absorptie;
de absorptie van het plafond is tweemaal die van het gemiddelde,
dus respectievelijk 20, 40 en 80%. De absorptie van de vier
andere vlakken is vervolgens teruggerekend.
De SFJ-waarden (in rood) zijn in figuur
2_links reeds gegeven [].
Die zijn in figuur 3 hetzelfde omdat de gemiddelde
waarden gelijk zijn gehouden en formule (2) dus precies
hetzelfde oplevert. De spiegelbronberekeningen (in blauw) tonen
een lichte daling, die dus ook al door Kuttruff was voorspeld.
De reden kan uit figuur 1_rechts worden afgeleid. De rode
spiegelbron ligt het dichtst bij de mikrofoon en is dus het
luidst. Juist die bron wordt het meeste aangepakt als er
absorptiemateriaal op het plafond wordt geplakt.
Concluderend kunnen we stellen dat de
onderlinge verschillen klein zijn. Eigenlijk kunnen we met de
vorm van de ruimte weinig doen om geluidhinder te bestrijden. De
hoeveelheid absorberend oppervlak is veel belangrijker
dan de vorm van de ruimte en de plaats waar het materiaal
wordt bevestigd. We zullen daar later nog op terugkomen.
Echter, dit resultaat geldt expliciet
voor de sterkte van het geluid. In de volgende delen
zullen we (helaas?) zien dat deze bewering niet opgaat voor de
nagalmcurve. Integendeel, de verdeling van absorptiematerialen
zal dan allesbepalend blijken te zijn.
Waarom de SFJ-theorie slechts een
benadering geeft
Het is interessant om formule (2), de
vrucht van de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie eens te ontrafelen.
Er staat dus:
.
(2, herhaling)
Als we de absorptiecoëfficiënt
a vervangen door de
reflectiecoëfficiënt R staat er dus ook:
.
(7a)
.
(7b)
De laatste term binnen de haakjes kan
worden geschreven als het resultaat van een reeksontwikkeling.
Immers:
.
(8)
De voorwaarde voor convergentie is dat
R < 1, en aan die voorwaarde is hier uiteraard voldaan.
De SFJ-therie stoelt dus eigenlijk op
een paar veronderstellingen:
Als we het spiegelbronnenmodel bekijken
zien we dat beide beweringen op losse schroeven staan; zie
daartoe figuur 4:
Figuur 4: Een rechthoekige ruimte
waaromheen een paar spiegelbronnen zijn getekend. Het getal bij
een spiegelbron geeft het aantal reflecties.
De figuur geeft de ruimte van figuur 2,
links. Er zijn slechts een paar spiegelbronnen getekend.
In de figuur staat bij iedere
spiegelbron ook het aantal reflecties aangegeven. Volgens de
SFJ-theorie moet men nu alle bronnen samenvoegen die één, twee,
drie, ... maal hebben gereflecteerd. Maar we zien dat de
bovenste rode bron met twee reflecties gelijktijdig binnenkomt
met de blauwe bron die eenmaal heeft gereflecteerd. Eén van de
zwarte bronnen heeft driemaal gereflecteerd en komt zelfs eerder
binnen dan de blauwe met twee reflecties. De tijdaanduiding op
grond van het aantal reflecties is dus niet correct en daarmee
tevens de sterkte van de bronnen die immers (volgens formule 1)
op de afstand is gebaseerd en daarmee rechtstreeks gelinkt aan
de tijd.
Indien in figuur 4 een langwerpige
ruimte wordt vervangen door een kubus, zijn de afwijkingen veel
kleiner. Ze verdwijnen echter nooit helemaal en ook voor een
kubus is de SFJ-theorie slechts een benadering.
|
vorige theoriedeel volgende |
|