1. Afwijkingen
van Sabine's theorie
1.1 Zwakke punten in de SFJ-theorie
In één van de voorgaande webpagina's is een
methode gegeven om de akoestische eigenschappen van een ruimte te becijferen
met behulp van een tabel waarin per ruimtevlak de absorptiecoëfficiënt
en de geometrische gegevens worden ingevoerd. Daaruit wordt een gemiddelde
absorptiecoëfficiënt berekend plus de nagalmtijd. Het is daarnaast
ook mogelijk om het geluidniveau te berekenen als het geluidvermogen van de
bron bekend is.
De methode gaat terug op Sabine's werk (uitgevoerd rond
1900) plus een aantal aanvullingen uit de daaropvolgende decennia, zodat we nu
spreken van de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie (SFJ-theorie).
In de huidige webpagina zullen we uiteenzetten dat de
SFJ-theorie de werkelijkheid niet altijd nauwkeurig weergeeft; er zijn een paar
aannames in de theorie die tot problemen leiden.
Probleem 1: de bron-mikrofoon-afstand
De bron-mikrofoon-afstand is behandeld in de voorgaande
webpagina. Daar bleek dat de SFJ-theorie mank gaat; de aanvulling van Barron bracht theorie en praktijk nader tot elkaar.
Strikt genomen heeft Barrons theorie niets met de vorm van de
ruimte te maken. Toch zal de
afstand in de huidige pagina ruimschoots terugkeren. In figuur 1 zien we dat de
afstand tussen bron en ontvanger in een kubus (linksboven) relatief beperkt
moet zijn. Als we aannemen dat het volume van de "corridor"
(rechtsboven in de figuur) gelijk is aan het volume van de kubus linksboven, kunnen
in de corridor uiteraard veel grotere afstanden tot de bron voorkomen. Daardoor
zijn de geluidniveaus er lager en kunnen de akoestische omstandigheden er
gunstiger zijn. Soortgelijke overwegingen gelden in een "platte
ruimte" (linksonder) en in een "U-vorm" (rechtsonder).
Figuur 1: De kubus (linksboven) is de basisvorm waarvoor
Sabine’s theorie het beste werkt. Een corridor (rechtsboven) of een
ruimte waarvan lengte en breedte veel groter zijn dan de hoogte (linksonder)
hebben geen constant diffuus veld. Rechtsonder staat een tamelijk willekeurig
voorbeeld van een U-vormige ruimte.
Probleem 2: de verdeling van absorptie over de
ruimte
In de SFJ-theorie wordt gerekend met één
gemiddelde absorptiecoëfficiënt. Dat betekent dus dat het niet van
belang is waar absorptie wordt aangebracht; een vierkante meter absorptie op
het plafond recht boven de bron absorbeert even goed als eenzelfde oppervlak in
de hoek van het plafond. Die aanname blijkt in veel
gevallen onjuist, zowel voor de nagalmtijd als voor het geluidniveau [[1]].
Indien een geluiddrukniveau wordt berekend op
één bepaalde afstand van de bron, is volgens de SFJ-theorie maar
één grootheid van belang: het totaal absorberend oppervlak. Maar stel
nu dat we het volume van de kubus (linksboven in
figuur 1) en de corridor (rechtsboven) weer gelijk nemen, dan heeft de corridor
een groter geometrisch oppervlak dan de kubus. Als we nu ook veronderstellen
dat alle vlakken dezelfde absorptiecoëfficiënt hebben, heeft de
corridor dus ook een groter absorberend oppervlak dan een kubus. De SFJ-theorie
voorspelt dan dat het geluidniveau in de corridor lager is dan in de kubus. De
praktijk leert, en ray-tracing-modellen bevestigen dat, dat dat niet waar is. Er
zit ook iets merkwaardigs in het SFJ-model wat geïllustreerd wordt in
figuur 2.

Figuur 2: De energie door een virtueel vlak in een
corridorvormige ruimte.
We veronderstellen een geluidbron plus een mikrofoon.
Door een virtueel vlak stroomt geluidvermogen dat door de wanden aan de
rechterzijde wordt geabsorbeerd. Indien de maat D wordt vergroot, stijgt het
totaal absorberend oppervlak van de ruimte en daalt, volgens de SFJ-theorie,
het geluidniveau ter plaatse van de mikrofoon. Voor kleine waarden van D klopt
dat ook, maar het is wel aan te voelen dat de afname van het vermogen door het
virtuele vlak geen gelijk tred houdt met een steeds maar toenemende waarde van
D. Er is een theoretisch maximum waarbij het gehele bronvermogen door het vlak
stroomt. Het werkzame absorberende
oppervlak rechts van het virtuele vlak is dan dus kleiner dan voorspeld.
Probleem 3: niet-kubische ruimten
De SFJ-theorie veronderstelt dat er een homogene verdeling
van spiegelbronnen bestaat door de ruimte. Indien een kubus wordt uitgerekt in
één richting en wordt ingekrompen in een andere richting, kunnen
we het volume gelijk houden. Echter, de spiegelbronnen verschuiven dan van
plaats. Dit effect is geïllustreerd in figuur 3 voor een paar
spiegelbronnen die dicht rondom de ruimte liggen.
Figuur 3: Een kubus (links) wordt enerzijds uitgerekt en
anderzijds ingekrompen waardoor het volume gelijk blijft (rechts). Daardoor
verschuiven de spiegelbronnen. Het geluidniveau in de rechter figuur blijkt
groter.
Diegenen die zijn geïnteresseerd in de achtergronden
van figuur 3 worden verwezen naar de theorie in de subpagina van deze
webpagina.
Sommige bronnen (de rode) zijn dichterbij gekomen en
worden dus luider, de blauwe bronnen zijn verder weg geschoven waardoor hun
bijdrage aan het geluidniveau afneemt. Een simpele rekensom met behulp van de
afstanden leert dat het totale geluidniveau stijgt omdat de rode bronnen
het winnen van de blauwe. De Sabine-theorie daarentegen voorspelt een daling,
omdat het totaal absorberend oppervlak toeneemt.
1.2 De inhoud van de huidige webpagina
Er zijn dus twee grootheden, absorptieverdeling en
ruimtevorm, waarvoor de SFJ-theorie niet zomaar opgaat en er zijn dus vier
bouwkundige combinaties:
1. Een
kubus met een homogene verdeling van de absorptie over alle grensvlakken
2. Een
kubus met een inhomogene verdeling van de absorptie, bijvoorbeeld omdat
het grootste deel van de absorptie op het plafond is bevestigd.
3. Een
vorm afwijkend van een kubus met homogene verdeling van de absorptie.
4. Een
vorm afwijkend van een kubus met inhomogene verdeling van de absorptie.
Het eerste voorbeeld komt in de praktijk zelden voor.
Een zuiver voorbeeld van het tweede type zal ook
nauwelijks te vinden zijn, maar voorbeelden van ruimten die erop lijken zijn er
in overvloed. Een huiskamer, een schoolklas of zelfs een concertzaal hebben een
vorm die (akoestisch gezien) slechts in geringe mate afwijkt van een kubus.
Het derde ruimtetype bestaat niet of nauwelijks in de
praktijk. Het is althans zeer ongebruikelijk om op plafond, wanden en vloer
precies hetzelfde materiaal te bevestigen.
Het vierde type daarentegen vinden we in de praktijk weer
wel in overvloed. In een sportzaal van 40 ×
20 × 10 m3 kunnen
afwijking worden gevonden ten opzichte van een kubus van 20 × 20 ×
20 m3, zowel voor de nagalmtijd als voor het geluidniveau.
Het (onbestaande) derde type zal in de huidige webpagina
toch aan de orde komen. Dat is gedaan om vorm en absorptieverdeling afzonderlijk
te kunnen beoordelen. In een ruimte van type 4 kan niet worden duidelijk
gemaakt of de afwijkingen van de SFJ-theorie worden veroorzaakt door de
ruimtevorm dan wel door de inhomogene verdeling van de absorptie. Sterker nog: in
de huidige pagina gaat het uitsluitend over de vorm van ruimten met homogene
absorptie, waarbij dus de nadruk valt op de ruimten die vrij sterk afwijken
van een kubus. De inhomogene absorptieverdeling komt in de volgende
pagina ter sprake.
2. Een corridor
2.1 Het geluidniveau
Als voorbeeld om de invloed van de ruimtevorm te
illustreren worden in de plattegrond van figuur 4 de resultaten gegeven van
berekeningen in een corridor met een hoogte van 3.0 m. De berekeningen zijn
gemaakt in Catt Acoustic. Links in de ruimte (op 2.5, 2.5, 1.5) staat een spreker
op normale sterkte. Door de ruimte wordt een net van mikrofoonpunten
gedefinieerd op een hoogte van 1.2 m. Hierna vindt een verwerking tot
contourplots plaats in Matlab. Om de invloed van de vorm duidelijk te maken
hebben alle wanden een gelijke absorptiecoëfficiënt, ook al is dat
niet realistisch voor de bouwpraktijk.

|
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 60.9 dB.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 9%; SPL-diffuus = 58.9 dB.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 14%; SPL-diffuus = 56.9 dB.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 20%; SPL-diffuus = 54.9 dB.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 52.9 dB.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 39%; SPL-diffuus = 50.9 dB.
|
Figuur 4: Het geluidniveau, voor een net van
mikrofoons op 1.2 m hoogte, in een plattegrond van een corridor waarvan alle
wanden een gelijke absorptiecoëfficiënt hebben. Alle maten zijn in
meters; de hoogte van de ruimte is 3.0 m.
Op coördinaat (2.5, 2.5, 1.5) staat een luidspreker die
in alle richtingen even sterk straalt. De sterkte van de bron is gekozen als
een "sprekend mens op normale sterkte". Echter, de bron straalt (in
tegenstelling tot een mens) in alle richtingen evenveel geluid af. De
berekeningen zijn gemaakt met een diffusiecoëfficiënt van 10%.
SPL-diffuus geeft het diffuse geluidniveau zoals voorspeld
door de SFJ-theorie.
We zien in de figuren de volgende effecten:
-
Naarmate we ons verder van de bron verwijderen neemt het
geluidniveau af. Dat lijkt een open deur, maar de SFJ-theorie voorspelt een
afname bij de bron en een constant geluidniveau aan de rechterzijde van de
figuur. Dat niveau is onder iedere figuur gegeven als "SPL-diffuus".
-
Het geluidniveau op ieder mikrofoonpunt neemt af indien
de absorptiecoëfficiënt toeneemt.
-
De "steilheid" van de afname, als functie van
de afstand tot de bron, neemt ook toe met toenemende absorptie, hetgeen in
overeenstemming is met de theorie van Barron uit de voorgaande webpagina.
-
De absorptie is zo gekozen dat het geluidniveau telkens 2.0
dB afneemt volgens de SFJ-theorie. Tussen de bovenste en de onderste figuur zit
dus 10 dB volgens de SFJ-theorie. Echter, rechts in de ruimte blijkt het
verschil 15 dB. Die extra 5 dB is een mooie aanvulling als bijvoorbeeld het
geluidniveau in een lawaaiig restaurant moet worden gereduceerd.
-
De gemiddelde vrije weglengte (mfp) in deze ruimte
bedraagt 3.5 m. Dat betekent dat we op het punt (6.0, 2.5) de waarde moeten
vinden die de SFJ-theorie plus Barrons aanvulling voorspelt. Dat blijkt niet
het geval. In de bovenste figuur vinden we ruwweg 2 dB extra, in de onderste 4
dB. Dat komt door de niet-kubische vorm van de ruimte, hetgeen in figuur 3 was
geïllustreerd.
Figuur 5 toont een herhaling van een figuur uit de
voorgaande webpagina. Daarin wordt de SFJ-theorie (in zwart) vergeleken met de
aanvulling van Barron op deze theorie.

Figuur 5 (herhaling): Het geluidniveau SPL in een
ruimte waarvan het plafond laag is t.o.v. lengte en breedte. De ruimte meet 20
× 20 × 3.5 m3. Vooral bij 32% absorptie zijn de
verschillen tussen Sabine’s theorie (in zwart) en Barrons theorie (in
rood) aanzienlijk.
Thans kunnen we de conclusie trekken dat Barrons formule
de helling van de curven veel beter voorspelt dan de SFJ-theorie.
Echter, de absolute hoogte van de curven wordt in een corridor niet goed
voorspeld. In de bovenste corridor (6% absorptie) moet de curve 2 dB omhoog
schuiven, in de onderste corridor (39%) is de verschuiving +4 dB.
2.2 De nagalmtijd in een corridor
De voorspelling van de nagalmtijd met de SFJ-theorie in
niet-kubische ruimten is nog onnauwkeuriger. In figuur 6 zijn twee
plots gegeven (voor 6% absorptie en 28%) van de nagalmtijd zoals die is
berekend in CattAcoustic. Volgens de SFJ-theorie is de nagalmtijd constant door
de ruimte. Dat klopt voor de bovenste figuur ook prima, al is de nagalmtijd
volgens de SFJ-theorie wat korter dan de tijd die volgt uit CattAcoustic: 2.4 in
plaats van 2.6 s. In de onderste plot levert de SFJ-theorie een nagalmtijd van
0.5 s. Volgens Catt wordt die nagalmtijd vlak bij de bron ook gevonden, maar in
de rest van de ruimte is de nagalmtijd toch flink langer en bovendien allerminst
constant door de ruimte.

|
absorptiecoëfficiënt is 6%; RT volgens Sabine: 2.4 s.
|

|
absorptiecoëfficiënt is 28%; RT volgens Sabine: 0.5 s.
|
Figuur 6: De nagalmtijd zoals berekend met Catt
Acoustic. Getoond wordt de nagalmtijd tussen -5 en -20 dB. Gerekend is met een
diffusiecoëfficiënt van 10%.
De oorzaak van de afwijkingen worden geïllustreerd
figuur 7. Daar worden de nagalmcurven getoond zoals berekend door Catt Acoustic
voor één mikrofoonpunt, halverwege de ruimte. De figuur geeft de
curve plus twee nagalmtijden die daaruit worden berekend. De rode waarde wordt
berekend bij curve-fitting tussen -5 en -20 dB, de zwarte waarden worden
gevonden tussen -5 en -35 dB [[2]].
|
|
absorptiecoëfficiënt is 6%
RT volgens
Sabine: 2.4 s
|
absorptiecoëfficiënt is 28%
RT volgens Sabine: 0.5 s
|
Figuur 7: Nagalmcurven geproduceerd door Catt
Acoustic voor het mikrofoonpunt in het midden van de ruimte. Let op: de
horizontale tijdassen zijn verschillend.
De SFJ-theorie voorspelt een lineaire galmcurve als
functie van de tijd. De linker, sterk galmende situatie voldoet daar wel aardig
aan, al zien we ook hier al enigszins een "doorzakking" van de curve.
In de theoriepagina's wordt uitgebreid ingegaan op de vorm van de curven. Hier
stippen we slechts een paar effecten kort aan:
-
In de eerste 50 ms van de rechter curve is de steilheid
het grootst. Daar zien we een combinatie van direct geluid en nagalm. In de
linker figuur is zoveel nagalm dat het direct erin verdrinkt. Boven 50 ms is de
helling minder sterk.
-
Er zitten sterke hobbels in de rechter curve. Hier zien
we het effect van de niet-kubische ruimte op de nagalm. De nagalm kan
ontbonden worden gedacht in een lengte-, breedte- en hoogtecomponent. De
nagalmtijd in de lengterichting is aanzienlijk langer dan in de beide andere
richtingen, waardoor het niet-lineaire verloop ontstaat.
-
De nagalmtijd wordt bepaald via curve-fitting aan een
deel van de curve. Maar als die curve grillig is heeft de uitkomst een lage
correlatie. Daardoor zijn de correlaties in de rechter figuur lager dan in de
linker.
-
De curve is vrijwel altijd concaaf
("doorzakken"). Daardoor is de tijd tussen -5 en -35 dB altijd langer
dan die tussen -5 en -20 dB.
-
Het langer doorklinken van de horizontale component van
de nagalm langer valt nog enigszins mee, omdat alle wanden een gelijke
absorptiecoëfficiënt hebben. In een volgende webpagina worden
gevallen behandeld waarbij het overgrote deel van de absorptie aan het plafond
is aangebracht. Dan zal het effect nog veel sterker blijken.
Het grootste probleem van de onbetrouwbare nagalmtijd is
dat die vaak wordt berekend of gemeten om de kwaliteit van een ruimte vast te
stellen. In een galmende kubus is dat dus geen enkel probleem, maar er zijn
heel wat ruimten waarin de gevonden nagalmtijd slechts een matige indicatie
geeft van de akoestische kwaliteit van een ruimte. Dat is tevens de reden dat
in de huidige webpagina meer geluidniveaus worden gegeven dan nagalmtijden; de
nagalmtijd geeft eigenlijk niet zoveel informatie.
3. Een vergelijking in drie ruimten
met homogene absorptie
Figuur 8 geeft een vergelijking van de geluidniveaus in
drie ruimten: een eenvoudige rechthoek, een U-vormige ruimte en de eerder gegeven corridor. Er worden slechts twee absorptiecoëfficiënten
getoond: 6% en 28 %. De lengte van de corridor is op 30 m gesteld, waardoor de
rechthoek en de corridor dezelfde vloeroppervlakte hebben. De U-vorm is qua
vloeroppervlak 25 m2 kleiner.
|
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 60.9 dB.
|
|
|
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 61.5 dB.
|
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 61.7 dB.
|
|
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 52.9 dB.
|
|
|
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 53.5 dB.
|
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 53.7 dB.
|
Figuur 8: Vergelijking van drie plattegronden. De
verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in coördinaat (2.5, 2.5,
1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt: 6% voor de
bovenste drie situaties en 28% voor de onderste drie. De berekeningen zijn
gemaakt met Catt Acoustic; de diffusiecoëfficiënt is gelijk aan 10%.
De U-vorm geeft in de rechterpoot de laagste
geluidniveaus. Het Barron-afstandseffect is ook in de U-vorm zichtbaar als we
de afstand beschouwen langs de poten van de U. De afstand van bron naar
mikrofoon is echter niet groter dan ca. 15 m, dus als we een vergelijking maken
met de corridor, moeten we uitgaan van een corridor van ongeveer 20 m lang
i.p.v. 30 m. We constateren dan dat een U-vorm t.o.v. een corridor nog eens 4
dB (bovenste figuur) tot 7 dB (onderste figuur) lager uitkomt. Kennelijk helpen
de hoeken nog eens extra bij de verlaging van het geluidniveau, maar is die
verzwakking ook afhankelijk van de hoeveelheid absorptie.
4. L-, Z- en U-vorm met homogene
absorptie
De U-vorm kan worden vergeleken met min of meer
overeenkomstige plattegronden. Dat is gedaan in de figuren 9a en 9b. Alle drie
de situaties hebben een gelijk volume en vloeroppervlak en (toevalligerwijs)
een gelijke wandoppervlakte.
Figuur 9a: Vergelijking van drie plattegronden
berekend met Catt Acoustic. De verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in
coördinaat (2.5, 2.5, 1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt
van 6%. De overeenkomstige waarde van SPL-diffuus is gelijk aan 61.7 dB voor
alle drie de ruimten.
Figuur 9b: Vergelijking van drie plattegronden berekend met
Catt Acoustic. . De verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in
coördinaat (2.5, 2.5, 1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt
van 28%. De overeenkomstige waarde van SPL-diffuus is gelijk aan 53.7 dB voor
alle drie de ruimten.
Ook hier is de U-vorm weer de beste, al zijn de
verschillen zeer gering. Na de voorgaande figuren komen de geluidniveaus in de
L-vorm wat hoger uit dan in de U-vorm; het geluid gaat slechts
eenmaal de hoek om. Maar ook in de Z-vorm ontmoet het geluid net wat minder
weerstand dan in de U-vorm.
5. Enkele regels voor de praktijk
In dit theoriedeel van de site worden vooral de
akoestische principes uitgelegd. De consequenties voor de praktijk komen aan de
orde in de delen C en D. Toch worden hier enige
opmerkingen gemaakt:
-
Het is duidelijk dat geluidabsorberende materialen het geluidniveau
verlagen. Dat is een tweesnijdend zwaard: het absolute niveau daalt overal in
de ruimte, maar ook de afname van het niveau met de afstand (de steilheid) wordt
sterker bij toenemende absorptie.
-
Het geluidniveau wordt ook beïnvloed door de vorm van
de ruimte, als is die invloed niet zo groot als de invloed van absorptie. De
vorm speelt een rol als de afstand tussen bron en ontvanger bewust wordt
vergroot: een corridor-achtige ruimte heeft achterin lagere geluidniveaus dan
een bijna vierkante ruimte met gelijk vloeroppervlak.
-
Het toevoegen van hoeken in de plattegrond doet het
geluidniveau dalen. Enerzijds bemoeilijken de hoeken het geluidtransport
(enigszins), anderzijds wordt meestal automatisch de afstand tussen bron en ontvanger
opgevoerd waardoor bovenstaand effect weer een rol speelt.
Alle geluidniveaus zijn berekend met een "spreker op
normale sterkte" als geluidbron. De geluidniveaus achterin een ruimte
variëren in onze voorbeelden van 58 dB in een rechthoek met weinig absorptie
tot 43 dB in een U-vorm met flink wat absorptiemateriaal. Dat is een wereld van
verschil. Bij 58 dB is de spraak luid te horen. Een geluidniveau van 43 dB is te
horen onder voorwaarde dat in de rest van de ruimte geen andere geluibronnen
aanwezig zijn. Het geluiniveau in een ruimte met een paar draaiende computers
is in de orde van 40 dB. De hoorbare spraak is dus weinig hoger.
Het gaat er nu om of we de bron al of niet willen horen of
zelfs verstaan. Als de spraak ook verstaanbaar moet zijn, moet de U-vorm niet
worden gekozen; de spraak is te zacht. Maar ook de weinig-absorberende rechthoek
valt af: de spraak is luid te horen, maar de galm stoort de verstaanbaarheid
ernstig. De spraakverstaanbaarheid wordt overigens niet in deze webpagina
behandeld maar komt elders aan de orde, bijvoorbeeld bij het ontwerp van een
schoollokaal. De U-vorm is bijvoorbeeld zeer geschikt om er in een instelling of
andere woonomgeving de keuken te situeren of de TV-hoek, zodat het geluidniveau
in de rest van de ruimte beperkt blijft.