1. Inleiding
In deze webpagina wordt ingegaan op C50
en U50. Allereerst komt de pure theorie, inclusief de
formules, aan de orde; vervolgens worden enkele berekeningen gemaakt die niet
in de bovenliggende pagina zijn behandeld. Het theoriehoofdstuk is een uitgebreide
vertaling van een artikel [[1]].
Verondersteld wordt thans dat de lezer de pagina B.22 heeft gelezen en op de
hoogte is van de begrippen "vroeg geluid", "laat geluid" en
"ruis". Die worden hier niet uitgelegd.
2. Theorie
2.1 Het totale geluidniveau als functie van de afstand
Het geluidniveau in een ruimte ten gevolge van een
geluidbron wordt volgens de Sabine Franklin Jaeger theorie [[2]]
geschreven als:
|
|
|
(1)
|
Hierin geldt:
r = afstand tussen de geluidbron en de
toehoorder
Lp(r) = geluiddrukniveau op afstand
r van de bron
LW = geluidvermogenniveau van de
bron
S = totaal geometrisch oppervlak van alle
vlakken in de ruimte
a =
absorptiecoëfficiënt gemiddeld over alle vlakken in de ruimte
Q =
richtingscoëfficiënt van de bron
De eerste term tussen de haakjes representeert het
directe geluid. Het hangt dus niet af van de absorptie in de ruimte, maar wel
van de afstand en de richtingskarakteristiek Q van de bron.
Zoals bij echte sprekers valt te constateren, is de
richtingskarakteristiek van een mens vrij geprononceerd. Meestal wordt Q
= 2.5 gekozen in de as van de mond. Naar de zijkanten van het hoofd geldt dan
ongeveer Q
= 1, terwijl naar achteren de waarde van Q veel kleiner dan 1 is [[3]].
Op één bepaalde afstand, de zgn. galmstraal, zijn de twee
termen tussen de haakjes gelijk [[4]]:
|
|
|
(2)
|
De galmstraal stijgt als de absorptiecoëfficiënt
toeneemt. Echter, zelfs in een goed ontworpen schoollokaal is rrev
niet groter dan 2 m. Dat betekent dus dat op de achterste rijen in een
schoollokaal het directe geluid welhaast onhoorbaar is en dat de
spraakverstaanbaarheid tot stand komt door een goede verhouding tussen het
vroege en late geluid. Het vroege geluid moet dan voldoende boven de ruis
uitsteken. Dezelfde bewering geldt voor een grote spreekzaal, maar daar is de
verhouding ten opzichte van de ruis vaak ongunstiger. Overigens wordt de
galmstraal in de volgende formules niet meer gebruikt.
De tweede term tussen haakjes in vergelijking (1)
representeert het diffuse geluidveld. Dit is uitsluitend afhankelijk van de
absorberende eigenschappen van de ruimte en dus niet van de afstand. Dat
gegeven is strijdig met dagelijkse ervaring en er is daarom een aangepaste
formule van Barron [[5]]
waarin de afstand r wel in het diffuse veld doorwerkt:
|
|
|
(3)
|
met:
RT =
nagalmtijd.
Een interessante overgang ontstaat indien voor de
nagalmtijd de formule van Eyring wordt ingevuld:
|
|
 |
(4)
|
waarin V het volume is van de ruimte.
De grootheid mfp representeert de gemiddelde vrije
weglengte:
|
|
|
(5)
|
Combinatie van de formules (3) t/m (5) levert voor het
geluidniveau Lp,brn volgens Barron:
|
|
|
(6)
|
Vergelijkingen (1) en (6) zijn gelijk indien r = mfp.
Voor kleinere afstanden voorspelt Barrons formule een hogere waarde, op grotere
afstanden laat Barrons formule een dalende tendens zien [[6]].
Met behulp van ray-tracing-modellen is de juistheid van
Barrons model vaak genoeg aangetoond [[7]].
Maar het model houdt geen rekening met verstrooiing door meubilair e.d. Daarom
is een aangepaste formule mogelijk waarin de afstandsterm simpelweg wordt
opgehoogd door middel van een factor fb:
|
|
|
(7)
|
Indien fb = 1, vinden we formule (6). Metingen in kantoren
en klaslokalen leveren waarden in de orde van fb = 2 [[8]].
2.2 Vroeg en laat geluid
Zoals uitgelegd in de bovenliggende webpagina, kan een
verdeling worden gemaakt tussen vroeg geluid (arriverend binnen 50 ms) en laat
geluid (na 50 ms). De theorieën van Sabine en Eyring voorspellen een rechte
lijn voor het uitklinken van het geluidniveau. Voor de geluidenergie komt dat
dus neer op een exponentiële uitdemping als functie van de tijd t als
respons op een puls op tijdstip t = 0:
|
|
|
(8)
|
Het getal 13.8 wordt uitgelegd in webpagina B.6.1,
formule (34).
Integratie van de formule over de tijd tussen 0 en 50 ms en
tussen 50 ms en oneindig levert respectievelijk de vroege en de late energie:
|
|
|
(9a)
|
en:
|
|
|
(9b)
|
waarin E0 een constante is, die niet
erg belangrijk is omdat die weer verdwijnt bij vergelijking van vroeg en laat
geluid. Die waarden kunnen worden ingevoerd in formule 6.
In formule 6 gingen we uit van een bronvermogen LW
dat van iedere bron afkomstig kon zijn. We gaan er in het vervolg vanuit dat de
bron een spreker is en zullen daarom de grootheid LW,spraak
gebruiken. We vinden dan:
|
|
|
(10a)
|
en:
|
|
|
(10b)
|
en nu is C50 niets anders dan het
verschil tussen deze twee grootheden:
|
|
|
(11)
|
2.3 De invloed van ruis in de formules
Om een ruisbron in het model in te voeren moet de positie
van de ruisbron ten opzichte van de toehoorder bekend zijn. Dan kan formule (7)
ook op die bron worden toegepast. Echter, in veel gevallen (sommige
ventilatiesystemen, andere sprekers in de ruimte, enz.) mag de ruis gelijkmatig
verdeeld worden verondersteld over de ruimte. Dat mag zeker als de afstand
tussen waarnemer en ruisbron relatief groot is, omdat dan alleen het diffuse
veld wordt meegerekend. We kunnen dan voor het ruisniveau schrijven:
|
|
|
(12)
|
In een eerder artikel is aangetoond dat het model ook mag
worden toegepast in tamelijk droge situaties waar we de som van directe velden
berekenen [[9]].
De volgende stap is om het late geluid bij de ruis op te
tellen. Combinatie van formules (10b) en (12) levert dan:
|
|
|
(13)
|
en daartoe moet SN worden geschreven als:
|
|
|
(14)
|
Het verschil tussen de formules (10a) en (13) noemen we
nu U50:
|
|
|
(15)
|
Een waarschuwing is hier op zijn plaats. In de literatuur
vindt men meestal een SN die het verschil geeft tussen de geluiddrukniveaus,
terwijl we hier werken met het verschil in geluidvermogens. Onze aanpak
is wat netter. Als we een ruisbron in een ruimte zetten meten we een bepaald
geluidniveau. Als daarna absorptie aan de ruimte wordt toegevoegd daalt het
geluiddrukniveau, maar blijft het vermogen gelijk. Er is daarom te rekenen aan
ruimten waarin de absorptiecoëfficiënt wordt gevarieerd.
3. Enkele voorbeelden van berekening en presentatie van U50
3.1 Een vuistregel op grond van de nagalmtijd
Door de simpele opzet van U50 is er een
eenduidig verband met de nagalmtijd indien ruis helemaal ontbreekt en de
afstand tot de bron tamelijk groot is. Daarmee kan dus bijvoorbeeld een
allereerste schatting worden gemaakt van U50 halverwege een
klaslokaal.
We vinden de volgende formule door in bovenstaande
formule (10a) de eerste term met de afstand weg te laten en in formule (10b) de
term voor de ruis. We vinden dan voor C50:
|
|
|
(16)
|
hetgeen uiteraard kan worden geschreven als:
|
|
|
(17a)
|
of als:
|
|
|
(17b)
|
Tabel 1 geeft een paar doorgerekende waarden. Een mooi
ezelsbruggetje is dat C50 = 0 dB indien RT gelijk is
aan 1 s [[10]].
Tabel 1: De waarde van de spraakverstaanbaarheidsmaat C50
als functie van de nagalmtijd. De afstand tussen bron en ontvanger is dusdanig
groot verondersteld dat de directe spraak geen invloed heeft.
| RT [s] |
C50 [dB] |
| 0.31 |
9 |
| 0.38 |
7 |
| 0.48 |
5 |
| 0.63 |
3 |
| 0.85 |
1 |
| 1.00 |
0 |
| 1.18 |
-1 |
| 1.70 |
-3 |
Relatief dicht bij de bron gaat het simpele verhaal niet
meer op, want dan zorgt de bijdrage van het direct ervoor dat C50
stijgt. Ook bij toevoeging van ruis wordt het beeld gecompliceerder. Maar tabel
1 geeft wel degelijk een "minimumeis". Indien wordt gewerkt naar een
waarde van C50 gelijk aan 6 dB (hetgeen naar onze mening in
een schoollokaal zou moeten worden nagestreefd), mag de nagalmtijd niet langer
zijn dan 0.43 s. Vóór in het schoollokaal is de waarde van C50
dan hoger door het directe geluid, maar achterin de klas wordt de
spraakverstaanbaarheid alleen maar minder indien er ook nog ruis aanwezig is.
Een nagalmtijd van 0.43 s is dus een "minimumvoorwaarde".
3.2 Numerieke oplossingen met zeven variabelen
De formules van het voorgaande hoofdstuk zijn net wat te
ingewikkeld om er een simpel ontwerpschema uit te ontwikkelen [[11]].
Anderzijds lenen ze zich uitstekend voor een numerieke aanpak; dat kan zelfs al
in Excel, al zullen we hier vooral Matlab-uitdraaien laten zien.
Uit de formules kan worden afgeleid dat er zeven
grootheden een rol spelen:
r De
afstand tussen bron en ontvanger.
a De gemiddelde
absorptiecoëfficiënt.
V Het
volume van de ruimte
S Het
geometrisch oppervlak van de ruimte. Dit hangt sterk samen met V, maar
er is wel degelijk wat verschil tussen een kubus en een platgeslagen ruimte.
SN De
signaal-ruis-verhouding
Q De
richtingscoëfficiënt van de bron.
fb De
afname door de ruimte.
Deze laatste grootheid is wel degelijk van belang, met name in
open kantoren [[12]].
Toch zal die hier niet worden gebruikt. De nagalmtijd RT en de gemiddelde vrije weglengte mfp
staan ook in de formules, maar zij zijn niet onafhankelijk want ze kunnen uit
de gegeven variabelen worden afgeleid.
Het grootste probleem is dus om een manier te vinden van
presentatie. Het zal blijken dat dat niet altijd lukt. Meer dan twee onafhankelijke
variabelen plus U50 kunnen op papier niet worden weergegeven.
3.3 Een voorbeeld van U50 als functie van de
afstand
In figuur 1 wordt het resultaat weergegeven van een
berekening in een ruimte van 8 × 6.25 × 3.2 m3, dus om en nabij een
schoollokaal voor lager onderwijs. De linker figuur toont de uitdraai van de
boven gegeven formules als functie van de afstand. De figuur lijkt sterk op de
eerdere in B.22 getoonde figuur, maar nu is Barrons formule voor de afstand
gebruikt (vergelijkingen 10a, 13 en 15), waardoor de curven voor het vroege
geluid (hier niet getoond) en het late geluid dalen met de afstand. De ruis in
de ruimte wordt homogeen verondersteld en is dus geen functie van de afstand.
De rechter figuur geeft de daaruit resulterende waarde
van U50.
Figuur 1: Numerieke uitwerking van bovenstaande formules
voor het geluiddrukniveau (links) en de daaruit resulterende waarde van U50.
In de formules worden diverse grootheden genoemd (bijvoorbeeld Lp,brn
of Lp,ruis), maar die worden langs de verticale as allemaal
samengevoegd onder de naam SPL. De grootte van de ruimte bedraagt 8 × 6.25 ×
3.2 m3.
3.4 Enkele presentatievormen met afstand en absorptie als variabelen
Een figuur is een tweedimensionale afbeelding waarin U50
verticaal kan worden gegeven tegen slechts één van de zeven variabelen langs de
horizontale as. Een tweede variabele kunnen we nog kwijt als parameter of via
een 3D-representatie, maar het blijft lastig om meerdere variabelen tegelijk te
tonen. De presentatievorm moet dus naar bevind van zaken worden gekozen.
Figuur 2 toont boven elkaar drie manieren die ongeveer
hetzelfde laten zien. Echter, horizontaal is er wel degelijk een belangrijk
verschil: de linker kolom toont de gevallen zonder ruis, rechts toont de
gevallen met SN = 0 dB, zoals gedefinieerd in vergelijking (14). De
ruimte heeft weer de afmetingen 8 ×
6.25 × 3.2 m3.
Figuur 2: Drie vormen van presentatie van U50
voor twee waarden van de signaal-ruisverhouding SN. Links is ruis
afwezig; rechts geldt SN = 0 dB. De afmetingen van de ruimte bedragen 8 × 6.25 ×
3.2 m3.
In figuur 5 staat een alternatief waarbij de kleurenbalk in
de onderste twee figuren is vervangen door de namen van de kwaliteitsklassen in
de eigenlijke figuur.
De aanduidingen "slecht" ... "uitstekend"
worden toegelicht in webpagina B.22.
De middelste en de onderste rij tonen precies dezelfde
figuur. Het enige verschil is de "hoek" waaronder naar de uitkomsten
wordt gekeken ("view" in Matlabjargon). De bovenste figuren tonen
doorsneden door de middelste voor vier waarden van de parameter
"absorptie".
In de tweede en derde rij zijn de kwaliteitsklassen in
kleur aangegeven. Eventueel kan dat ook in de bovenste figuur. De
kwaliteitsaanduidingen "slecht" tot "uitstekend" zijn in B.22 al afgeleid.
3.5 Absorptie en signaal-ruisverhouding; maar dan verdwijnt de
afstand
Een ander manier van presenteren van dezelfde
berekeningen staat in figuur 3. Die figuur geeft een handig overzicht van de
invloed van galm en ruis, respectievelijk gerepresenteerd door de
absorptiecoëfficiënt en de signaal-ruisverhouding SN. Maar om die twee
grootheden in één figuur te krijgen moet de afstand als variabele worden
opgeofferd door één bepaalde afstand te kiezen. In figuur 3 is die afstand
gelijk gekozen aan de lengte van de ruimte, in dit geval 8 m. Over de
vloerdiagonaal (die is hier 10.6 m) ontstaat dus ongeveer de ongunstigste
situatie op de achterste rij van het schoollokaal.
Figuur 3: De spraakverstaanbaarheid in een ruimte van 8 × 6.25 ×
3.2 m3 voor vijf verschillende waarden van de signaal-ruisverhouding
SN, waarbij SN = +20 model staat voor de ruisarme situatie. De
curven zijn berekend op een afstand van 8 m van de bron.
Indien ruis vrijwel afwezig is, loopt de
spraakverstaanbaarheid continu op (dus de curve voor SN = 20 dB). De spraakverstaanbaarheid
wordt geheel bepaald door de galm in de ruimte. Een dode kamer, waar de
absorptie tot één nadert, is de beste ruimte voor spraak.
Toevoeging van ruis verslechtert de
spraakverstaanbaarheid. Bij SN = +5 en +10 dB zien we dat vooral de galm
storend is indien de absorptiecoëfficiënt kleiner is dan 12%. Maar boven a »
25% is de ruis bepalend.
Men zou verwachten dat de ruis allesoverheersend is bij SN
= -5 dB en dat de absorptie geen rol meer speelt. Toch blijkt dat wel het geval
getuige het gedrag boven a » 25%, waar U50 afneemt.
Dat komt omdat ook het
geluidniveau van de ruis wordt verlaagd bij toenemende absorptie. Het is immers
het vermogen van de ruis dat constant wordt gehouden. Overigens rest bij
een dergelijk hoog ruisniveau slechts de keuze tussen "slecht" en
"volstrekt onverstaanbaar".
Figuur 3 geldt op de achterste rij van een schoollokaal.
Op de eerste rij ziet het plaatje er anders uit, zie daartoe figuur 4. De
spraakverstaanbaarheid op de voorste rij van een schoollokaal is "uitstekend"
indien de absorptie ruim voldoende is (groter dan 25%) en de
signaal-ruisverhouding meer dan 10 dB bedraagt. Ook op de eerste rij is de
spraakverstaanbaarheid slechts "redelijk" indien SN = -5 dB.
Die waarde geldt bijvoorbeeld (formule 14) als er naast de "gewenste"
spreker nog 3 stoorsprekers met hetzelfde spraakvermogen in het lokaal aanwezig
zijn [[13]].
Figuur 4: De spraakverstaanbaarheid in de ruimte uit
figuur 3, maar nu op een afstand van 1 m van de bron.
In figuur 4 vinden we U50 langs de
verticale as en SN als parameter voor de curven. Deze twee waarden worden
verwisseld in figuur 5, waarin een voorbeeld staat van een ruimte ter grootte
van een schoollokaal. De ruimte tussen de curven is weer opgevuld met kleuren
die de kwaliteitsaanduidingen laat zien.
Figuur 5: Een representatie van de uitkomsten met de
spraakverstaanbaarheid als parameter en gekleurde vlakken voor de kwaliteit van
de spraak. De afmetingen van de ruimte bedragen 8 × 6.25 × 3.2 m3.
In de linker figuur is de afstand tussen bron en toehoorder
gelijk aan 8 m; rechts is dat 2 m.
3.6 Overdemping
In figuur 3 zien we nog een ander fenomeen:
"overdemping". Dit betekent dat boven een bepaalde
absorptiecoëfficiënt de spraakverstaanbaarheid begint af te nemen. Er is dan
kennelijk te veel absorptiemateriaal in de ruimte aangebracht.
De oorzaak van het effect is als volgt. Het directe
geluid achter in een schoollokaal is buitengewoon gering; al het nuttige geluid
komt daar aan via de vroege reflecties tegen vloer plafond en wanden. Als die oppervlakken
sterk absorberen, wordt het niveau van het vroege geluid te laag ten opzichte
van de aanwezige ruis. Men kan de wanden dan maar beter wat laten reflecteren.
Te zien valt ook dat de curven bij zeer lage ruisniveaus (SN > 20 dB) continu blijven stijgen;
overdemping treedt dan niet op. Op 1 m afstand (figuur 4) is het effect te
verwaarlozen. Dat komt omdat daar het directe geluid veel luider is dan op de
achterste rij.
Overigens is overdemping een beetje een
"luxeprobleem". Het aantal schoollokalen met te weinig absorptie
overtreft het aantal lokalen met te veel absorptie vele malen.
4. De curven geven slechts voorbeelden van representatie; toepassing
komt later aan de orde
De voorgaande figuren geven weer hoe eventueel de
spraakverstaanbaarheid in beeld kan worden gebracht. Uiteraard is het veel
belangrijker om ze ook toe te passen. Dat zal echter pas in de volgende
webpagina's geschieden. Het zal dan bijvoorbeeld blijken dat met name de
figuren 4 en 5 zich lenen om het architectonisch ontwerp van een schoollokaal
te behandelen. Voor spreekzalen groter dan een schoollokaal zullen zelfs nog
extra representatievormen worden gegeven. Dan wordt het zaalvolume en/of het
vloeroppervlak langs de horizontale as gekozen en de nagalmtijd langs de
verticale as. Op die manier wordt een optimale curve afgeleid.
|
vorige theoriedeel volgende |
|