1. Afwijkingen van Sabine's theorie
1.1 Zwakke punten in de SFJ-theorie
In één van de voorgaande webpagina's is een methode gegeven om de akoestische eigenschappen van een ruimte te becijferen met behulp van een tabel waarin per ruimtevlak de absorptiecoëfficiënt en de geometrische gegevens worden ingevoerd. Daaruit wordt een gemiddelde absorptiecoëfficiënt berekend plus de nagalmtijd. Het is daarnaast ook mogelijk om het geluidniveau te berekenen als het geluidvermogen van de bron bekend is.
De methode gaat terug op Sabine's werk (uitgevoerd rond 1900) plus een aantal aanvullingen uit de daaropvolgende decennia, zodat we nu spreken van de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie (SFJ-theorie).
In de huidige webpagina zullen we uiteenzetten dat de SFJ-theorie de werkelijkheid niet altijd nauwkeurig weergeeft; er zijn een paar aannames in de theorie die tot problemen leiden.
Probleem 1: de bron-mikrofoon-afstand
De bron-mikrofoon-afstand is behandeld in de voorgaande webpagina. Daar bleek dat de SFJ-theorie mank gaat; de aanvulling van Barron bracht theorie en praktijk nader tot elkaar.
Strikt genomen heeft Barrons theorie niets met de vorm van de ruimte te maken. Toch zal de afstand in de huidige pagina ruimschoots terugkeren. In figuur 1 zien we dat de afstand tussen bron en ontvanger in een kubus (linksboven) relatief beperkt moet zijn. Als we aannemen dat het volume van de "corridor" (rechtsboven in de figuur) gelijk is aan het volume van de kubus linksboven, kunnen in de corridor uiteraard veel grotere afstanden tot de bron voorkomen. Daardoor zijn de geluidniveaus er lager en kunnen de akoestische omstandigheden er gunstiger zijn. Soortgelijke overwegingen gelden in een "platte ruimte" (linksonder) en in een "U-vorm" (rechtsonder).
 |
 |
 |
 |
Figuur 1: De kubus (linksboven) is de basisvorm waarvoor Sabine’s theorie het beste werkt. Een corridor (rechtsboven) of een ruimte waarvan lengte en breedte veel groter zijn dan de hoogte (linksonder) hebben geen constant diffuus veld. Rechtsonder staat een tamelijk willekeurig voorbeeld van een U-vormige ruimte.
Probleem 2: de verdeling van absorptie over de ruimte
In de SFJ-theorie wordt gerekend met één gemiddelde absorptiecoëfficiënt. Dat betekent dus dat het niet van belang is waar absorptie wordt aangebracht; een vierkante meter absorptie op het plafond recht boven de bron absorbeert even goed als eenzelfde oppervlak in de hoek van het plafond. Die aanname blijkt in veel gevallen onjuist, zowel voor de nagalmtijd als voor het geluidniveau [[1]].
Indien een geluiddrukniveau wordt berekend op één bepaalde afstand van de bron, is volgens de SFJ-theorie maar één grootheid van belang: het totaal absorberend oppervlak. Maar stel nu dat we het volume van de kubus (linksboven in figuur 1) en de corridor (rechtsboven) weer gelijk nemen, dan heeft de corridor een groter geometrisch oppervlak dan de kubus. Als we nu ook veronderstellen dat alle vlakken dezelfde absorptiecoëfficiënt hebben, heeft de corridor dus ook een groter absorberend oppervlak dan een kubus. De SFJ-theorie voorspelt dan dat het geluidniveau in de corridor lager is dan in de kubus. De praktijk leert, en ray-tracing-modellen bevestigen dat, dat dat niet waar is. Er zit ook iets merkwaardigs in het SFJ-model wat geïllustreerd wordt in figuur 2.
Figuur 2: De energie door een virtueel vlak in een corridorvormige ruimte.
We veronderstellen een geluidbron plus een mikrofoon. Door een virtueel vlak stroomt geluidvermogen dat door de wanden aan de rechterzijde wordt geabsorbeerd. Indien de maat D wordt vergroot, stijgt het totaal absorberend oppervlak van de ruimte en daalt, volgens de SFJ-theorie, het geluidniveau ter plaatse van de mikrofoon. Voor kleine waarden van D klopt dat ook, maar het is wel aan te voelen dat de afname van het vermogen door het virtuele vlak geen gelijk tred houdt met een steeds maar toenemende waarde van D. Er is een theoretisch maximum waarbij het gehele bronvermogen door het vlak stroomt. Het werkzame absorberende oppervlak rechts van het virtuele vlak is dan dus kleiner dan voorspeld.
Probleem 3: niet-kubische ruimten
De SFJ-theorie veronderstelt dat er een homogene verdeling van spiegelbronnen bestaat door de ruimte. Indien een kubus wordt uitgerekt in één richting en wordt ingekrompen in een andere richting, kunnen we het volume gelijk houden. Echter, de spiegelbronnen verschuiven dan van plaats. Dit effect is geïllustreerd in figuur 3 voor een paar spiegelbronnen die dicht rondom de ruimte liggen.
 |
 |
Figuur 3: Een kubus (links) wordt enerzijds uitgerekt en anderzijds ingekrompen waardoor het volume gelijk blijft (rechts). Daardoor verschuiven de spiegelbronnen. Het geluidniveau in de rechter figuur blijkt groter.
Diegenen die zijn geïnteresseerd in de achtergronden van figuur 3 worden verwezen naar de theorie in de subpagina van deze webpagina.
Sommige bronnen (de rode) zijn dichterbij gekomen en worden dus luider, de blauwe bronnen zijn verder weg geschoven waardoor hun bijdrage aan het geluidniveau afneemt. Een simpele rekensom met behulp van de afstanden leert dat het totale geluidniveau stijgt omdat de rode bronnen het winnen van de blauwe. De Sabine-theorie daarentegen voorspelt een daling, omdat het totaal absorberend oppervlak toeneemt.
1.2 De inhoud van de huidige webpagina
Er zijn dus twee grootheden, absorptieverdeling en ruimtevorm, waarvoor de SFJ-theorie niet zomaar opgaat en er zijn dus vier bouwkundige combinaties:
Een kubus met een homogene verdeling van de absorptie over alle grensvlakken
Een kubus met een inhomogene verdeling van de absorptie, bijvoorbeeld omdat het grootste deel van de absorptie op het plafond is bevestigd.
Een vorm afwijkend van een kubus met homogene verdeling van de absorptie.
Een vorm afwijkend van een kubus met inhomogene verdeling van de absorptie.
Het eerste voorbeeld komt in de praktijk zelden voor.
Een zuiver voorbeeld van het tweede type zal ook nauwelijks te vinden zijn, maar voorbeelden van ruimten die erop lijken zijn er in overvloed. Een huiskamer, een schoolklas of zelfs een concertzaal hebben een vorm die (akoestisch gezien) slechts in geringe mate afwijkt van een kubus.
Het derde ruimtetype bestaat niet of nauwelijks in de praktijk. Het is althans zeer ongebruikelijk om op plafond, wanden en vloer precies hetzelfde materiaal te bevestigen.
Het vierde type daarentegen vinden we in de praktijk weer wel in overvloed. In een sportzaal van 40 × 20 × 10 m3 kunnen afwijking worden gevonden ten opzichte van een kubus van 20 × 20 × 20 m3, zowel voor de nagalmtijd als voor het geluidniveau.
Het (onbestaande) derde type zal in de huidige webpagina toch aan de orde komen. Dat is gedaan om vorm en absorptieverdeling afzonderlijk te kunnen beoordelen. In een ruimte van type 4 kan niet worden duidelijk gemaakt of de afwijkingen van de SFJ-theorie worden veroorzaakt door de ruimtevorm dan wel door de inhomogene verdeling van de absorptie. Sterker nog: in de huidige pagina gaat het uitsluitend over de vorm van ruimten met homogene absorptie, waarbij dus de nadruk valt op de ruimten die vrij sterk afwijken van een kubus. De inhomogene absorptieverdeling komt in de volgende pagina ter sprake.
2. Een corridor
2.1 Het geluidniveau
Als voorbeeld om de invloed van de ruimtevorm te illustreren worden in de plattegrond van figuur 4 de resultaten gegeven van berekeningen in een corridor met een hoogte van 3.0 m. De berekeningen zijn gemaakt in Catt Acoustic. Links in de ruimte (op 2.5, 2.5, 1.5) staat een spreker op normale sterkte. Door de ruimte wordt een net van mikrofoonpunten gedefinieerd op een hoogte van 1.2 m. Hierna vindt een verwerking tot contourplots plaats in Matlab. Om de invloed van de vorm duidelijk te maken hebben alle wanden een gelijke absorptiecoëfficiënt, ook al is dat niet realistisch voor de bouwpraktijk.
|
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 60.9 dB. |
|
absorptiecoëfficiënt is 9%; SPL-diffuus = 58.9 dB. |
|
absorptiecoëfficiënt is 14%; SPL-diffuus = 56.9 dB. |
|
absorptiecoëfficiënt is 20%; SPL-diffuus = 54.9 dB. |
|
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 52.9 dB. |
|
absorptiecoëfficiënt is 39%; SPL-diffuus = 50.9 dB. |
Figuur 4: Het geluidniveau, voor een net van mikrofoons op 1.2 m hoogte, in een plattegrond van een corridor waarvan alle wanden een gelijke absorptiecoëfficiënt hebben. Alle maten zijn in meters; de hoogte van de ruimte is 3.0 m.
Op coördinaat (2.5, 2.5, 1.5) staat een luidspreker die in alle richtingen even sterk straalt. De sterkte van de bron is gekozen als een "sprekend mens op normale sterkte". Echter, de bron straalt (in tegenstelling tot een mens) in alle richtingen evenveel geluid af. De berekeningen zijn gemaakt met een diffusiecoëfficiënt van 10%.
SPL-diffuus geeft het diffuse geluidniveau zoals voorspeld door de SFJ-theorie.
We zien in de figuren de volgende effecten:
Naarmate we ons verder van de bron verwijderen neemt het geluidniveau af. Dat lijkt een open deur, maar de SFJ-theorie voorspelt een afname bij de bron en een constant geluidniveau aan de rechterzijde van de figuur. Dat niveau is onder iedere figuur gegeven als "SPL-diffuus".
Het geluidniveau op ieder mikrofoonpunt neemt af indien de absorptiecoëfficiënt toeneemt.
De "steilheid" van de afname, als functie van de afstand tot de bron, neemt ook toe met toenemende absorptie, hetgeen in overeenstemming is met de theorie van Barron uit de voorgaande webpagina.
De absorptie is zo gekozen dat het geluidniveau telkens 2.0 dB afneemt volgens de SFJ-theorie. Tussen de bovenste en de onderste figuur zit dus 10 dB volgens de SFJ-theorie. Echter, rechts in de ruimte blijkt het verschil 15 dB. Die extra 5 dB is een mooie aanvulling als bijvoorbeeld het geluidniveau in een lawaaiig restaurant moet worden gereduceerd.
De gemiddelde vrije weglengte (mfp) in deze ruimte bedraagt 3.5 m. Dat betekent dat we op het punt (6.0, 2.5) de waarde moeten vinden die de SFJ-theorie plus Barrons aanvulling voorspelt. Dat blijkt niet het geval. In de bovenste figuur vinden we ruwweg 2 dB extra, in de onderste 4 dB. Dat komt door de niet-kubische vorm van de ruimte, hetgeen in figuur 3 was geïllustreerd.
Figuur 5 toont een herhaling van een figuur uit de voorgaande webpagina. Daarin wordt de SFJ-theorie (in zwart) vergeleken met de aanvulling van Barron op deze theorie.
Figuur 5 (herhaling): Het geluidniveau SPL in een ruimte waarvan het plafond laag is t.o.v. lengte en breedte. De ruimte meet 20 × 20 × 3.5 m3. Vooral bij 32% absorptie zijn de verschillen tussen Sabine’s theorie (in zwart) en Barrons theorie (in rood) aanzienlijk.
Thans kunnen we de conclusie trekken dat Barrons formule de helling van de curven veel beter voorspelt dan de SFJ-theorie. Echter, de absolute hoogte van de curven wordt in een corridor niet goed voorspeld. In de bovenste corridor (6% absorptie) moet de curve 2 dB omhoog schuiven, in de onderste corridor (39%) is de verschuiving +4 dB.
2.2 De nagalmtijd in een corridor
De voorspelling van de nagalmtijd met de SFJ-theorie in niet-kubische ruimten is nog onnauwkeuriger. In figuur 6 zijn twee plots gegeven (voor 6% absorptie en 28%) van de nagalmtijd zoals die is berekend in CattAcoustic. Volgens de SFJ-theorie is de nagalmtijd constant door de ruimte. Dat klopt voor de bovenste figuur ook prima, al is de nagalmtijd volgens de SFJ-theorie wat korter dan de tijd die volgt uit CattAcoustic: 2.4 in plaats van 2.6 s. In de onderste plot levert de SFJ-theorie een nagalmtijd van 0.5 s. Volgens Catt wordt die nagalmtijd vlak bij de bron ook gevonden, maar in de rest van de ruimte is de nagalmtijd toch flink langer en bovendien allerminst constant door de ruimte.
|
absorptiecoëfficiënt is 6%; RT volgens Sabine: 2.4 s. |
|
absorptiecoëfficiënt is 28%; RT volgens Sabine: 0.5 s. |
Figuur 6: De nagalmtijd zoals berekend met Catt Acoustic. Getoond wordt de nagalmtijd tussen -5 en -20 dB. Gerekend is met een diffusiecoëfficiënt van 10%.
De oorzaak van de afwijkingen worden geïllustreerd figuur 7. Daar worden de nagalmcurven getoond zoals berekend door Catt Acoustic voor één mikrofoonpunt, halverwege de ruimte. De figuur geeft de curve plus twee nagalmtijden die daaruit worden berekend. De rode waarde wordt berekend bij curve-fitting tussen -5 en -20 dB, de zwarte waarden worden gevonden tussen -5 en -35 dB [[2]].
 |
 |
absorptiecoëfficiënt is 6% RT volgens Sabine: 2.4 s |
absorptiecoëfficiënt is 28% RT volgens Sabine: 0.5 s |
Figuur 7: Nagalmcurven geproduceerd door Catt Acoustic voor het mikrofoonpunt in het midden van de ruimte. Let op: de horizontale tijdassen zijn verschillend.
De SFJ-theorie voorspelt een lineaire galmcurve als functie van de tijd. De linker, sterk galmende situatie voldoet daar wel aardig aan, al zien we ook hier al enigszins een "doorzakking" van de curve. In de theoriepagina's wordt uitgebreid ingegaan op de vorm van de curven. Hier stippen we slechts een paar effecten kort aan:
In de eerste 50 ms van de rechter curve is de steilheid het grootst. Daar zien we een combinatie van direct geluid en nagalm. In de linker figuur is zoveel nagalm dat het direct erin verdrinkt. Boven 50 ms is de helling minder sterk.
Er zitten sterke hobbels in de rechter curve. Hier zien we het effect van de niet-kubische ruimte op de nagalm. De nagalm kan ontbonden worden gedacht in een lengte-, breedte- en hoogtecomponent. De nagalmtijd in de lengterichting is aanzienlijk langer dan in de beide andere richtingen, waardoor het niet-lineaire verloop ontstaat.
De nagalmtijd wordt bepaald via curve-fitting aan een deel van de curve. Maar als die curve grillig is heeft de uitkomst een lage correlatie. Daardoor zijn de correlaties in de rechter figuur lager dan in de linker.
De curve is vrijwel altijd concaaf ("doorzakken"). Daardoor is de tijd tussen -5 en -35 dB altijd langer dan die tussen -5 en -20 dB.
Het langer doorklinken van de horizontale component van de nagalm langer valt nog enigszins mee, omdat alle wanden een gelijke absorptiecoëfficiënt hebben. In een volgende webpagina worden gevallen behandeld waarbij het overgrote deel van de absorptie aan het plafond is aangebracht. Dan zal het effect nog veel sterker blijken.
Het grootste probleem van de onbetrouwbare nagalmtijd is dat die vaak wordt berekend of gemeten om de kwaliteit van een ruimte vast te stellen. In een galmende kubus is dat dus geen enkel probleem, maar er zijn heel wat ruimten waarin de gevonden nagalmtijd slechts een matige indicatie geeft van de akoestische kwaliteit van een ruimte. Dat is tevens de reden dat in de huidige webpagina meer geluidniveaus worden gegeven dan nagalmtijden; de nagalmtijd geeft eigenlijk niet zoveel informatie.
3. Een vergelijking in drie ruimten met homogene absorptie
Figuur 8 geeft een vergelijking van de geluidniveaus in drie ruimten: een eenvoudige rechthoek, een U-vormige ruimte en de eerder gegeven corridor. Er worden slechts twee absorptiecoëfficiënten getoond: 6% en 28 %. De lengte van de corridor is op 30 m gesteld, waardoor de rechthoek en de corridor dezelfde vloeroppervlakte hebben. De U-vorm is qua vloeroppervlak 25 m2 kleiner.
 |
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 60.9 dB. |
 |
 |
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 61.5 dB. |
absorptiecoëfficiënt is 6%; SPL-diffuus = 61.7 dB. |
 |
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 52.9 dB. |
 |
 |
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 53.5 dB. |
absorptiecoëfficiënt is 28%; SPL-diffuus = 53.7 dB. |
Figuur 8: Vergelijking van drie plattegronden. De verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in coördinaat (2.5, 2.5, 1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt: 6% voor de bovenste drie situaties en 28% voor de onderste drie. De berekeningen zijn gemaakt met Catt Acoustic; de diffusiecoëfficiënt is gelijk aan 10%.
De U-vorm geeft in de rechterpoot de laagste geluidniveaus. Het Barron-afstandseffect is ook in de U-vorm zichtbaar als we de afstand beschouwen langs de poten van de U. De afstand van bron naar mikrofoon is echter niet groter dan ca. 15 m, dus als we een vergelijking maken met de corridor, moeten we uitgaan van een corridor van ongeveer 20 m lang i.p.v. 30 m. We constateren dan dat een U-vorm t.o.v. een corridor nog eens 4 dB (bovenste figuur) tot 7 dB (onderste figuur) lager uitkomt. Kennelijk helpen de hoeken nog eens extra bij de verlaging van het geluidniveau, maar is die verzwakking ook afhankelijk van de hoeveelheid absorptie.
4. L-, Z- en U-vorm met homogene absorptie
De U-vorm kan worden vergeleken met min of meer overeenkomstige plattegronden. Dat is gedaan in de figuren 9a en 9b. Alle drie de situaties hebben een gelijk volume en vloeroppervlak en (toevalligerwijs) een gelijke wandoppervlakte.
 | |
 |
|
Figuur 9a: Vergelijking van drie plattegronden berekend met Catt Acoustic. De verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in coördinaat (2.5, 2.5, 1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt van 6%. De overeenkomstige waarde van SPL-diffuus is gelijk aan 61.7 dB voor alle drie de ruimten.
 | |
 |
|
Figuur 9b: Vergelijking van drie plattegronden berekend met Catt Acoustic. . De verdiepingshoogte is telkens 3.0 m. De bron staat in coördinaat (2.5, 2.5, 1.5). Alle wanden hebben een gelijke absorptiecoëfficiënt van 28%. De overeenkomstige waarde van SPL-diffuus is gelijk aan 53.7 dB voor alle drie de ruimten.
Ook hier is de U-vorm weer de beste, al zijn de verschillen zeer gering. Na de voorgaande figuren komen de geluidniveaus in de L-vorm wat hoger uit dan in de U-vorm; het geluid gaat slechts eenmaal de hoek om. Maar ook in de Z-vorm ontmoet het geluid net wat minder weerstand dan in de U-vorm.
5. Enkele regels voor de praktijk
In dit theoriedeel van de site worden vooral de akoestische principes uitgelegd. De consequenties voor de praktijk komen aan de orde in de delen C en D. Toch worden hier enige opmerkingen gemaakt:
Het is duidelijk dat geluidabsorberende materialen het geluidniveau verlagen. Dat is een tweesnijdend zwaard: het absolute niveau daalt overal in de ruimte, maar ook de afname van het niveau met de afstand (de steilheid) wordt sterker bij toenemende absorptie.
Het geluidniveau wordt ook beïnvloed door de vorm van de ruimte, als is die invloed niet zo groot als de invloed van absorptie. De vorm speelt een rol als de afstand tussen bron en ontvanger bewust wordt vergroot: een corridor-achtige ruimte heeft achterin lagere geluidniveaus dan een bijna vierkante ruimte met gelijk vloeroppervlak.
Het toevoegen van hoeken in de plattegrond doet het geluidniveau dalen. Enerzijds bemoeilijken de hoeken het geluidtransport (enigszins), anderzijds wordt meestal automatisch de afstand tussen bron en ontvanger opgevoerd waardoor bovenstaand effect weer een rol speelt.
Alle geluidniveaus zijn berekend met een "spreker op normale sterkte" als geluidbron. De geluidniveaus achterin een ruimte variëren in onze voorbeelden van 58 dB in een rechthoek met weinig absorptie tot 43 dB in een U-vorm met flink wat absorptiemateriaal. Dat is een wereld van verschil. Bij 58 dB is de spraak luid te horen. Een geluidniveau van 43 dB is te horen onder voorwaarde dat in de rest van de ruimte geen andere geluibronnen aanwezig zijn. Het geluiniveau in een ruimte met een paar draaiende computers is in de orde van 40 dB. De hoorbare spraak is dus weinig hoger.
Het gaat er nu om of we de bron al of niet willen horen of zelfs verstaan. Als de spraak ook verstaanbaar moet zijn, moet de U-vorm niet worden gekozen; de spraak is te zacht. Maar ook de weinig-absorberende rechthoek valt af: de spraak is luid te horen, maar de galm stoort de verstaanbaarheid ernstig. De spraakverstaanbaarheid wordt overigens niet in deze webpagina behandeld maar komt elders aan de orde, bijvoorbeeld bij het ontwerp van een schoollokaal. De U-vorm is bijvoorbeeld zeer geschikt om er in een instelling of andere woonomgeving de keuken te situeren of de TV-hoek, zodat het geluidniveau in de rest van de ruimte beperkt blijft.
