B.3.2
Een extrapolatiemodel voor de berekening van gelaagde constructies

1.    Inleiding

Deze webpagina is de tweede uit een reeks van vijf (B.3.1 t/m B.3.5) die inzicht moet geven in de theorie van absorptie in absorberende materialen en in de overwegingen die een rol spelen indien in de praktijk een absorberende constructie moet worden gekozen om galm en/of lawaai te beperken. Er worden hier echter alleen constructies behandeld die zijn gegenereerd door een computermodel dat rekent aan laagsgewijze constructies zoals absorptiemateriaal, beton, een laag lucht, e.d. Dat lagenmodel is het onderwerp van de huidige webpagina B.3.2. 

In de voorgaande webpagina B.3.1 is een aantal grootheden geïntroduceerd die in de huidige webpagina kort zullen worden herhaald om de huidige B.3.2 min of meer op eigen benen te laten staan. Dat lukt uiteraard niet helemaal, want dan hadden we B.3.1 wel helemaal weg kunnen laten. De echte voorbeelden, uitgedraaid met het computermodel komen aan de orde in B.3.3, waarbij we ons beperken tot constructies met absorberende lagen. In B.3.4 en B.3.5 worden theorie en voorbeelden gegeven van vlakke-plaatabsorbers en helmholtzconstructies in de vorm van gaatjesplaten.

 

2.    Enige begrippen uit de voorgaande webpagina B.3.1

In de voorgaande webpagina zijn meerdere variabelen geïntroduceerd die hier nogmaals aan de orde komen. Ook figuur 1 is vrijwel ongewijzigd overgenomen.

Figuur 1:  Invallende, gereflecteerde en doorgelaten golven op het grensvlak van twee media.

 

In medium M1 bevindt zich een geluidbron die een vlakke invallende golf opwekt. Zo’n bron bestaat overigens niet; de vlakke golf is vooral handig om mee te rekenen. De invallende golf wordt deels doorgelaten in medium M2 (transmissie, getekend in rood) en deels gereflecteerd in M1. In de figuur staan akoestische grootheden die terugkeren in de formules. Later zal de transmissie aan het grensvlak "geluidabsorptie" worden genoemd in navolging van het akoestisch spraakgebruik.

De gebruikte grootheden in de komende formules, overgenomen uit webpagina B.3.1, zijn: 

p	De geluiddruk zoals die op vele plaatsen in deze site wordt gebruikt. Meestal wordt de geluiddruk dan gerelateerd aan een referentiedruk en uitgedrukt in decibels. Hier wordt de geluiddruk zelf gebruikt. Een referentiedruk is niet nodig omdat die er later uitgedeeld wordt.
v	Voor de berekening van absorptiematerialen is de geluiddruk p niet genoeg. De deeltjessnelheid v is net zo belangrijk. Indien p en v sinusvormig worden verondersteld is vooral het faseverschil tussen p en v maatgevend voor de berekening van het energietransport door de grenslaag.
x	Er wordt in de figuur een coördinaat x verondersteld (niet getekend) waarlangs de akoestische golven lopen. Het grensvlak tussen de twee media staat daar loodrecht op. Dat is tevens een beperking van het model: er zijn alleen constructies mogelijk met lagen die zich in twee richtingen oneindig uitstrekken.
j	Het basisgetal voor complex rekenen, gelijk aan Ö-1. Deze grootheid staat niet in de figuur maar is in de onderstaande rekenmodellen wel essentieel. p en v werden nl. in de vorige webpagina ontwikkeld als complexe getallen. Dat betekent dat p en v, zoals hier gebruikt, niet meer afhangen van de tijd, maar wel van de plaats x. Bij een faseverschil bevinden de minima en maxima van p en v zich op verschillende plaatsen.
ρ	De soortelijke massa van een medium. Dat varieert sterk van 1.21 kg/m3 voor lucht tot bijvoorbeeld 7800 kg/m3 voor staal.
c	De geluidsnelheid van een medium. Ook die is relatief laag voor lucht: ca. 340 m/s. Bij staal vinden we ca. 5200 m/s.
f	Alle berekeningen worden uitgevoerd bij één bepaalde frekwentie f. Dat lijkt een beperking, maar ingewikkelder akoestische verschijnselen kunnen (via een fouriertransformatie) altijd uiteengerafeld worden tot een serie frekwenties (een "spectrum").
ω, λ	De grootheid ω is gedefinieerd als ω = 2πf en wordt de cirkelfrekwentie genoemd. In theoretische verhandeling wordt deze variabele graag gebruikt om te voorkomen dat iedere keer 2π moet worden toegevoegd. Bij een geluidsnelheid en een frekwentie hoort een golflengte λ. Er bestaat een vaste relatie met f en c, namelijk: λ = c/f .
W	De karakteristieke impedantie van een medium gedefinieerd door W = p/v . Dat kan voor een medium worden herberekend als W = ρc, waarmee het dus een eigenschap is van het medium. Voor lucht vinden we dus ca. 410 rayl, voor staal 4.0 × 107 rayl. W is karakteristiek voor een medium dat zich oneindig uitstrekt, en is niet afhankelijk van de plaats in het medium. In veel media is W een reële grootheid; p en v zijn wel complex maar er is geen faseverschil tussen p en v waardoor het quotiënt reëel wordt. Er zijn echter media (absorptiematerialen bijvoorbeeld) waarin wel faseverschillen tussen p en v optreden en W dus ook complex wordt. W is echter wel constant voor alle plaatsen in het medium. p en v kunnen bijvoorbeeld afnemen door wrijving indien de golf door een medium reist, maar het quotiënt blijft gelijk.
k	Het golfgetal k wordt gedefinieerd als k = 2π/λ = 2πf/c. Het is, net als ω, weer bedoeld om notaties in de akoestische wereld overzichtelijk te houden. k is dus (door c) een materiaaleigenschap. In veel media is k een reëel getal. Maar in absorptiematerialen is k een complex getal en het imaginaire gedeelte bepaalt de afname van p en v op de reis door een materiaal. p en v blijven min of meer constant als ze door lucht of staal reizen [[1]], maar in een absorptiemateriaal wordt akoestische trillingsenergie omgezet in warmte en nemen p en v in grootte af naarmate  de afstand x toeneemt. Het imaginaire deel van k bepaalt die afname.
Z	De akoestische impedantie gedefinieerd als: Z = p/v. Dat lijkt uiteraard sterk op W maar W was een materiaaleigenschap en werd daarom ook "karakteristiek" genoemd. Indien een constructie bestaat uit meerdere lagen (met ieder hun eigen W en k) zijn p en v op een bepaalde plaats in de constructie afhankelijk van de combinatie van alle lagen. Z is daardoor ook plaatsafhankelijk geworden. In een lopende golf in een oneindige laag lucht vallen de maxima en minima van p en v steeds samen en is Z overal hetzelfde (en gelijk aan W). Als daarentegen een laag lucht is opgesloten tussen twee harde wanden ontstaan staande golven. Een maximum  van p valt dan min of meer samen met een minimum van v en andersom ("knopen" en "buiken"). De W van de lucht is weer hetzelfde als bij een oneindige laag, maar Z varieert nu zeer sterk met de plaats. Z = 0 op de plaatsen waar p = 0, en Z nadert tot oneindig op de plaatsen waar v = 0.
I	De intensiteit I legt het transport vast van de energie in een geluidgolf. In tegenstelling tot p en v is I een reële grootheid. I geeft namelijk het vermogen van een golf per vierkante meter in een bepaalde richting. Het is een vector die dezelfde richting heeft als de deeltjessnelheid. In het volgende lagenmodel staat I altijd loodrecht op de grensvlakken. Rond een ingewikkelde geluidbron (een machine bijvoorbeeld) kan I plaatselijk naar de bron zijn gericht (zie webpagina B.1.1), maar gesommeerd over een gesloten oppervlak rond een bron is het transport altijd van de bron af gericht [[2]].
α	De absorptiecoëfficiënt, gedefinieerd als de verhouding van enerzijds de intensiteit van de golf die bij het scheidingsvlak M1-M2 in het materiaal verdwijnt en anderzijds de intensiteit van de invallende golf.
σ bm	De stromingsweerstand en de soortelijke massa van een absorptiemateriaal (bulk modulus) zijn uitgebreid aan de orde geweest in de voorgaande webpagina. Echter, in de huidige webpagina komen ze nauwelijks voor, in de volgende webpagina B.3.3 met uitdraaien van het model echter des te meer.

 

3.    Een numeriek model voor geluidabsorberende constructies

3.1   Een recursieve matrixberekening

In figuur 1 werd verondersteld dat beide media M1 en M2 half-oneindig zijn. Nu veronderstellen we een tweede scheidingsvlak tussen media M2 en M3 zoals getekend in figuur 2. In figuur 1 lopen golven heen en weer in het linker medium, thans ontstaan die heen en weer lopende golven ook in laag M2. In medium M3 kan echter alleen een naar rechts lopende golf bestaan omdat M3 zich aan de rechter zijde tot in het oneindige uitstrekt.

Figuur 2:  Een laag M2 tussen twee halfoneindige media. In M1 bevindt zich een geluidbron. Aan de grensvlakken M1-M2 en M2-M3 vinden reflecties plaats waardoor heen en weer lopende golven optreden die gezamenlijk een staande-golfpatroon opwekken. In M3, een half-oneindig medium, kan alleen een naar rechts lopende golf optreden.

 

Er kan nu voor de situatie uit figuur 2 een "transmissiemodel" (of "extrapolatiemodel" of "lagenmodel") worden opgesteld waarin van grensvlak naar grensvlak wordt gesprongen met behulp van een matrixvergelijking.  In formule (1) staat een voorbeeld voor laag M2 in figuur 2:

.

(1)

De meeste grootheden zijn in het voorgaande hoofdstuk besproken. Hier geldt nog extra:

d	=	de laagdikte van medium M2
p12	=	de geluidruk ter plaatse van het grensvlak M1-M2
v12	=	de deeltjessnelheid ter plaatse van het grensvlak M1-M2
p23	=	de geluiddruk ter plaatse van het grensvlak M2-M3
v23	=	de deeltjessnelheid ter plaatse van het grensvlak M2-M3
k2	=	het karakteristiek golfgetal van medium M2
W2	=	de karakteristieke impedantie van medium M2

 

W en k zijn materiaaleigenschappen van een laag die meestal worden afgeleid uit de soortelijke massa ρ en de geluidsnelheid c. Maar W en k kunnen ook verkregen zijn uit metingen aan een materiaal. Die metingen zijn vooral nodig voor absorptiematerialen [[3]].

Figuur 3:  Een gelaagde constructie van n lagen die kan worden ingevoerd in het rekenmodel. Het doel van het model is dan om de impedantie te berekenen op de overgang van M1 naar M2.

 

Figuur 3 toont een constructie van n lagen. Voor iedere laag kan een matrix worden opgesteld zoals in formule (1) en die matrices kunnen worden vermenigvuldigd tot één matrix voor de gehele constructie rechts van het medium M1 waarin de geluidbron zich bevindt; p en v moeten namelijk op iedere overgang continu zijn. Op iedere plaats in de constructie (ook tussen twee grenslagen) kan op deze manier een impedantie Z(x) worden berekend, maar meestal zijn we vooral geïnteresseerd in Z_r op de overgang van M1 en M2. Die grootheid bepaalt uiteindelijk de absorptiecoëfficiënt.

Altijd bevindt zich aan het eind van de constructie een laag waarvan wordt verondersteld dat die tot in het oneindige doorloopt. In medium Mn komen dus alleen weglopende golven voor die geheel worden bepaald door de karakteristieke impedantie van Mn die W_r zal worden genoemd. Aan de bronzijde wordt de totale constructie gekarakteriseerd door de grootheid Z_r.

De rekentruc is nu dat wordt gestart aan de rechter zijde van de constructie op de overgang van M(n-1) naar Mn, alleen daar is voorlopig de impedantie bekend (nl. gelijk aan W_r). Vervolgens wordt stapsgewijs teruggerekend naar het eerste grensvlak M1-M2. In formule (1) werd nog van links naar rechts geëxtrapoleerd, maar de omgekeerde weg kan worden bewandeld door de beide vectoren van p en v te verwisselen en een negatieve waarde van de afstand d in te vullen.

Op alle andere plaatsen (ook in medium M1) is de impedantie Z  plaatsafhankelijk en voorlopig onbekend. Echter, ook de absolute waarden van p en/of v in Mn zijn (nog) niet bekend, alleen de verhouding (de impedantie dus) ligt vast. Eén van de twee grootheden kan daarom willekeurig worden gekozen, waarbij meestal v = 1 wordt gesteld als Mn een gas of vloeistof representeert. Er ontstaat nu het volgend rekenschema behorend bij figuur 3:  

,

(2)

waarbij de elementen a ontstaan door de matrixvermenigvuldiging over alle lagen M2 t/m M(n-1). De verhouding tussen p_r en v_r aan de bronzijde is nu bekend, de absolute waarden nog niet. Indien Mn bestaat uit een akoestisch hard materiaal zal juist worden gestart met v = 0. Dan wordt W_r voorlopig meestal op 1 gezet.

 

3.2    Scheve en alzijdige inval

De tekeningen van de figuren 1 t/m 3 tonen een golf die loodrecht invalt op de constructie. Dat hoeft niet. Een schuin invallende golf kan worden geïntroduceerd door de snelheid te ontbinden in een "normale" component loodrecht op het oppervlak en een "laterale" component evenwijdig aan het oppervlak die zich ongestoord voortplant.

Er kan dan voor het golfgetal worden geschreven:

,

(3a)

en voor de resulterende drukreflectiecoëfficiënt:

,

(3b)

waarin β de invalshoek representeert. De reflectiecoëfficiënt werd in de theorie beschouwd als een complexe grootheid. Er kunnen faseverschillen optreden tussen de geluiddruk en de deeltjessnelheid.

Het geval β = 0° staat voor de loodrechte inval uit de voorgaande paragrafen. Indien de invalshoek naar 90° nadert, gaat de cosinus naar 0 en de reflectiecoëfficiënt naar -1. De hoek β zit trouwens impliciet ook in formule (3a) die kan worden omgeschreven naar een sinus en een cosinus.

Bij toepassing van formules (3a,b) komt automatisch de brekingswet van Snellius tevoorschijn aan het scheidingsvlak van twee media. In een vaste stof loopt een golf altijd sneller dan in lucht en Snellius voorspelt dan een maximale hoek waarboven "totale reflectie" optreedt. Was dat maar waar, want dan zou de geluidisolatie boven die hoek oneindig worden. In een medium lopen echter wel degelijk golven die in het jargon "evanescent waves" worden genoemd [[4]]. Geruststellend is dat dit effect automatisch goed gaat in een computerberekening. De term cos(kd) moet volgens formule (3a) worden vervangen door cos(k_normd) en evanescent waves zijn golven waarvan k_lat groter is dan k. Er ontstaat een wortel uit een negatief getal, dus een complex getal, maar met wat opletten behandelt de computer dat precies hetzelfde als het reële getal.

 

Er zijn een paar "eigenaardigheden" in het computermodel:

• Alle scheidingsvlakken moeten evenwijdig aan elkaar zijn; ingewikkelde constructies lijken dus uitgesloten.

• Dat geldt dus eigenlijk ook voor een plaat met gaatjes die dient als een serie helmholtzresonatoren. Gelukkig is er een truc mogelijk die goed blijkt te werken. We komen daarop terug in een webpagina's B.3.4 en B.3.5.

• Bij "laterale" golven (evenwijdig aan de constructie) ontstaan druk- en snelheidsverschillen langs het oppervlak. In vaste stoffen treden dan schuifkrachten op die alleen kunnen worden meegenomen door gebruik te maken van een 4×4 matrix in plaats van een 2×2 matrix met één waarde voor p en drie componenten voor v langs de drie assen. De 16 elementen in die matrix zijn overigens knap ingewikkeld.

• Als een constructie bestaat uit een mengvorm van vaste stoffen en gassen/vloeistoffen, moet op de grensvlakken worden overgegaan van een 4×4-matrix naar een 2×2-matrix of andersom. Ook dat vereist speciale aandacht van de programmeur.

• Door de 4×4 matrix komen nu ook golven in de vaste stof tevoorschijn die meelopen met de laterale golven in lucht. Die zijn in de praktijk bekend als het "coïncidentie-effect" waar bij betonnen en stalen platen de geluidisolatie drastisch inzakt. Het rekenmodel berekent het effect automatisch.

 

Als een serie van invalshoeken wordt berekend kan daaruit de alzijdige inval van een absorberende constructie worden berekend. Dat gebeurt in de theorieboeken met de formule van Paris:

,

(4)

waarin β de invalshoek is. 0° representeert daarbij loodrechte inval. De formule laat via de cosinus zien dat de absorptie bij scherende inval vrijwel geen invloed heeft op de alzijdige inval. De sinus toont dat er zeer weinig loodrechte inval is en dat het aantal invallende stralen toeneemt naarmate ze schever invallen. Zowel bij 0° als bij 90° verdwijnt dus de bijdrage; rond 45° is de bijdrage maximaal.

Bij nameting blijkt het model van Paris niet te kloppen. Het goede nieuws is dat het rekenmodel de absorptie ónderschat en dat een materiaal het bij alzijdige inval beter doet dan berekend. Bij loodrechte inval doen de modellen het prima, maar bij hoeken nabij 90° treedt veel meer absorptie op dan Paris voorspelt. Via trial and error is de formule van Paris wel een beetje aan te passen. De cosinusfunctie moet dan niet zo scherp afvallen bij 90°.

 

Het is verklaarbaar dat formule (4) niet werkt. Uit de complexe reflectiecoëfficiënt (formule 3b) wordt de scalaire absorptiecoëfficiënt berekend. Bij die overgang (zie de voorgaande webpagina) wordt informatie weggegooid. Dat gaat goed bij invalshoeken in de buurt van  β = 0°, maar bij nadering tot 90° wreekt zich deze aanpak. Immers, een reflectiecoëfficiënt  gelijk aan -1 leidt rekenkundig tot een absorptiecoëfficiënt gelijk aan 0 en dat blijkt in tegenspraak met metingen.

Het lagenmodel is wel degelijk te redden. Het is mogelijk om uit een serie vlakke golven het veld van een puntbron samen te stellen via een fouriertransformatie. Die puntbron moet dan op een bepaalde afstand van de constructie worden aangenomen. De bronafstand zorgt voor interactie tussen het invallende en het gereflecteerde geluid: er ontstaan staande golven. Juist bij scheve inval heeft die interactie grote invloed. Een waarde van R_p = -1 kan er dan voor zorgen dat de som van p en/of v van invallende en gereflecteerde golf tot uitdoving leidt, hetgeen weer leidt tot verlies van energie en dus tot een toename van de absorptiecoëfficiënt.  Het lagenmodel berekent alle vlakke golven (zoals in formule 3b) correct, maar voor de synthese over alle hoeken is de aanname van een bronpositie plus een fourierintegraal in plaats van formule (4) noodzakelijk.

Modellen bij scheve inval worden al decennialang gebruikt voor de berekening van de voortplanting van verkeersgeluid over graslanden e.d. De hoeken liggen dan altijd in de orde van 85° tot 90°. Het eerste model werd ontwikkeld door Ingard in de jaren 1950-1960. De modellen werden vervolmaakt in de zeventiger jaren. Er zijn meerdere methoden, ons lagenmodel is er slechts één van. Keer op keer werd de betrouwbaarheid van al deze modellen aangetoond. Echter, in de ruimteakoestiek wordt meestal geen vaste bronplaats aangenomen. Er wordt gewerkt met diffuse velden met alzijdige inval. Dat is nl. de methode zoals gebruikt in een nagalmkamer, waar alle mogelijke moeite wordt gedaan om de plaats van bron en mikrofoon juist te verdoezelen. Het is overigens nog maar de vraag of de nagalmkamermethode handig is. De uitkomsten zijn nooit direct bruikbaar in computermodellen van zalen en wellicht ligt dat wel degelijk aan de nagalmkamermethode; absorptiecoëfficiënten boven 100% zijn ook eigenlijk wel heel merkwaardig. De uitkomsten uit de nagalmkamer zijn vooral zeer geschikt om materialen onderling te vergelijken.

 

3.3    Modellen in de praktijk

Er is door ons geen historisch onderzoek uitgevoerd naar het ontstaan van het extrapolatiemodel, maar waarschijnlijk is het ontstaan aan het eind van de negentiende eeuw in de elektrotechniek, waar "lange leidingen" werden doorgerekend. De akoestiek heeft het vrij snel daarna overgenomen, maar de berekeningen bleken lang te ingewikkeld. Eén of twee lagen ging nog wel, zoals in het boek van Zwikker en Kosten uit 1949 wordt aangetoond, maar het rekenen met meerdere lagen ging de rekenkracht te boven.

Veel meer succes had het model in de optica waar lenzenstelsels bestaande uit een serie glassoorten werden doorgerekend. Het belangrijkste verschil tussen akoestische en optische modellen ligt in het gebruik van complexe getallen die bestaan uit twee componenten: het reële en imaginaire deel. In de optica blijven alle getallen reëel waardoor volhardend rekenwerk nog wel te doen was. Echter, in de akoestiek treden in veel lagen verliezen op, hetgeen zich uit in een faseverschil tussen p en v en dat kan het beste worden uitgedrukt met behulp van complexe getallen. Daarom duikt in formule (3a) het getal j op, maar ook W en k zijn complexe getallen. Slechts als alle lagen verliesvrij zijn worden ook W en k zuiver reëel en wordt de berekening een stuk eenvoudiger (dus als in de optica), maar het doel van absorptiematerialen is nu juist om wél complex gedrag te vertonen en dus energie in warmte om te zetten. Uiteraard is alles op zijn kop gezet met de komst van de computer. Een vermenigvuldiging of deling vindt, na enig programmeerwerk, plaats onder de motorkap en de totale doorrekening als in formule (3a) wordt een relatieve peulenschil.

Voor de toepassing in deze site is het Delftse proefschrift van Kees Wapenaar uit 1986 gebruikt [[5]]. Dat model is in eerste instantie aangepast om windinvloeden op geluidvoortplanting te berekenen [[6]]. Later werd het toegepast om de transmissie van wanden te berekenen [[7]] en nu komt het naar voren bij de berekening van de geluidabsorptie van laagvormige constructies.

 

De berekening is uiteraard steeds sneller geworden. Het is thans mogelijk om een laptop te gebruiken en in een paar seconden een constructie door te rekenen. En als een programma zoals bijvoorbeeld Matlab voorradig is, kan het rekenschema in een paar dagen in elkaar worden gesleuteld. Het lastigste werk is heden ten dage het bepalen van de materiaaleigenschappen (dus W en k) die moeten worden gevoed aan de computer. Ook in de optica heeft de computer trouwens tot een revolutie geleid. De computer wordt niet moe van nóg een extra glaslaag en het doorrekenen van een alternatieve lenzenconstructie is in een oogwenk gebeurd. Maar ook hier gaat het om het kiezen van de grootheden waarmee de computer wordt gevoed.

 

Doordat ingewikkelder berekeningen mogelijk werden konden ook meer parameters worden meegerekend. In gassen en vloeistoffen komen alleen geluiddrukken voor en geluidsnelheden in de richting van de geluidvoortplanting. In vaste stoffen treden echter ook schuifkrachten op. Dat is in een model in te bouwen door behalve de normaalsnelheid ook twee laterale snelheden op te nemen, dus juist evenwijdig aan de laag.

Soortgelijke ontwikkelingen hebben zich voorgedaan bij absorptiematerialen. De twee-bij-twee-matrix dekt een groot deel van de eigenschappen van het materiaal (we zullen later zien hoe dat werkt), maar de ontwerper van een materiaal wil nauwkeuriger weten hoe het materiaal zich zal gedragen en daarom zien we in deze wereld zelfs zes-bij-zes-matrices (zie vooral het werk van Allard [[8]]). Dergelijke toepassingen maken het leven van de akoesticus er niet simpeler op. Naast het opstellen van de matrices per materiaalsoort, moeten die matrices ook nog gekoppeld worden per grensvlak, bijvoorbeeld omdat een gas grenst aan een vaste stof en een twee-bij-twee-matrix moet worden gekoppeld aan een vier-bij-vier. Maar het is te doen en dit soort modellen wordt dus in de praktijk dagelijks toegepast.

 

 3.4   De geluidbron en de koppeling van links en rechts

In formule (2) staat een berekening die we aan de rechterzijde van een laag met een geluidbron hadden verondersteld. Op dezelfde manier kan een gelaagde constructie aan de linkerzijde van de bron worden doorgerekend. Het is dan wel nodig om aan de laagdikte d telkens een tegengesteld teken toe te voegen. Het geheel leidt tot twee impedantie Z_l en Z_r waarbij de indices l en r dus slaan op "links" en "rechts" van de bron.

De linker- en de rechterzijde worden gekoppeld bij een geluidbron waarbij óf p óf v continu moet zijn. De keuze tussen die twee hangt af van het type geluidbron. Een "gewone" luidspreker wordt in de akoestiek meestal gerepresenteerd door een zuiger in een cilinder die door een motortje wordt aangedreven. Zo’n bron verplaatst altijd dezelfde hoeveelheid lucht ongeacht de tegenkrachten op de zuiger. De grootheid v is dus vastgelegd en p volgt uit de eigenschappen aan de linker en de rechterzijde. In jargon heet dat "volume injection". Het is mogelijk om zo’n gekoppeld systeem te tekenen als een elektrisch analogon met twee impedanties en een stroombron voor de luidspreker. De sterkte van de luidspreker wordt voorlopig vastgelegd door een stroom v₀, die in de latere berekeningen zal verdwijnen zodat we die verder onbepaald kunnen laten; figuur 4 geeft het voorbeeld. Met behulp van het schema kunnen nu de grootheden p en v door de gehele constructie worden berekend als functie van v₀.

 

Figuur 4: Een elektrisch analogon van een geluidbron tussen twee meerlaagse constructies "links" en "rechts" van de bron, gerepresenteerd door hun impedanties Z_l en Z_r. De geluidbron wordt gerepresenteerd door de stroomsterkte v₀.

 

Er zijn in het schema drie grootheden die alles bepalen: v₀, Z_l en Z_r. De andere drie grootheden p₀, v_l en v_r worden hieruit berekend. Er geldt nl:

,

(5)

en:

.

(6)

Daaruit volgt voor de geluiddruk:

,

(7)

en voor de twee snelheden:

,

(8)

en:

.

(9)

Merk op dat de snelheid aan de linkerzijde vooral afhangt van de impedantie aan de rechterzijde en andersom.

 

3.5    De absorptiecoëfficiënt

In de rekenvoorbeelden uit de volgende webpagina gaat het vooral om absorberende constructies waarvan de absorptiecoëfficiënt wordt berekend. Dan wordt de linker constructie weggelaten. Links zien we alleen lucht waarvan we de karakteristieke impedantie W₀ zullen noemen. Er geldt dus in de voorgaande formules Z_l = W₀. Ze gaan over in:

,

,

.

(10a, b, c)

 

Om de absorptie- of transmissiecoëfficiënt te berekenen wordt een gereflecteerde of doorgelaten golf vergeleken met een invallende golf in een oneindig medium, dus als de absorberende constructie ontbreekt. Aan beide zijden vinden we dan de impedantie W₀ en de twee snelheden zijn gelijk. Uit de formules (7), (8) en (9) volgt dan:

,

(11)

en:

,

(12)

 

Uit de grootheden van formules (10) t/m (12) was in de voorgaande webpagina een drukreflectiecoëfficiënt berekend omdat p en v continu moeten zijn aan de grensvlakken. Na wat omzettingen is de uitkomst voor de drukreflectiecoëfficiënt:

,

(13)

waaruit dus p₀ en v₀ door uitdeling zijn verdwenen. Het is ook logisch dat de bronsterkte niet meer terzake doet; de formule moet evenzo gelden bij 30 dB als bij 90 dB.

 

De vorige webpagina bevatte ook een afleiding van de absorptiecoëfficiënt. Die wordt berekend uit de verhouding tussen de intensiteiten aan de rechterzijde en de intensiteit in de situatie zonder absorptie. Er kwamen daar twee formules tevoorschijn die alleen identiek zijn indien links een verliesvrij medium wordt verondersteld. Bij de gebruikelijke absorptiebepaling is dat inderdaad het geval. Er kan dan een energiereflectiecoëfficiënt worden berekend:

,

(14)

De energiereflectiecoëfficiënt R_refl is een heel handige grootheid in computermodellen van zalen. In de bouwpraktijk echter gebruikt men meestal de absorptiecoëfficiënt α die niets anders is dan het complement, dus:

.

(15)

 

4.    Enkele voorbeelden van modeluitkomsten

4.1    Een enkele absorberende laag op een harde ondergrond

In het boek van Zwikker en Kosten uit 1949 wordt uitgebreid gerekend aan de eigenschappen van absorberende materialen. Het boek is vooral theoretisch van opzet, maar voor de bouwpraktijk wordt er gestart met de basisuitvoering: een laag absorptiemateriaal op een harde achtergrond van bijvoorbeeld beton; zie figuur 5. We zullen dat geval hier doorrekenen als voorbeeld. Het komt in de volgende webpagina B.3.3 terug, dan temidden van wat ingewikkelder constructies.

Figuur 5:  Een constructie waarbij een absorberende laag is bevestigd op een akoestisch harde ondergrond. De keuze v_b = 0 ligt vast; de keuze p_b = 1 is voorlopig.

 

Aan de overgang van absorptielaag naar beton is beweging loodrecht op het oppervlak onmogelijk en is de deeltjessnelheid v dus gelijk aan nul. De geluiddruk aan dat oppervlak is nog onbekend en hangt bovendien af van de bronsterkte. We mogen p dus voorlopig gelijk stellen aan 1.

Van het absorptiemateriaal veronderstellen we drie grootheden bekend, de impedantie W, het golfgetal k en de laagdikte d. Ze krijgen alle drie een index a toegevoegd. Dat betekent dat we de volgende matrixvergelijking kunnen opstellen:

,

(16)

De extrapolatie start aan het betonoppervlak en wordt naar links uitgevoerd. Daar ligt ook het nulpunt van x en daarom ook krijgt d_a een minteken.

 

p_r en v_r zijn de grootheden aan de rechterzijde van de luchtlaag. Zij zijn in absolute vorm niet te berekenen maar dat hoeft ook niet. Het gaat bij de berekening van α om Z_r die volgt uit de deling van p_r en v_r. Daar komt dus uit:

,

(17)

en hieruit kan de absorptiecoëfficiënt worden berekend met behulp van formules (14) en (15). Maar dat laten we graag over aan de computer.

 

Een complexe deling van cosinus en sinus wordt een cotangenshyperbolicus genoemd en als zodanig door Zwikker en Kosten behandeld. Het is soms een heftig slingerende grootheid als functie van de frekwentie, hier in de vorm van k_a, omdat sinus en cosinus beurtelings nul kunnen worden vanuit het betonoppervlak waar de sinus gelijk is aan nul en Z_r dus tot oneindig nadert. Echter, W_a en k_a zijn in absorberende materialen complexe grootheden, waardoor de slingers grotendeels kunnen verdwijnen. Figuur 6 geeft een voorbeeld van een absorptieberekening.

Figuur 6:  De berekening van de absorptiecoëfficiënt van een laag glaswol van 10 cm dik en een bulkmodulus van 30 kg/m³ op een harde achtergrond.

 

Bij figuur 6 past het volgende commentaar:

• De golflengte van het geluid is 13.6 m bij 25 Hz en 5.4 cm bij 6300 Hz. Een laagdikte van 10 cm komt dus overeen met 1/136^ste van de golflengte bij 25 Hz tot ca 1/2 maal de golflengte bij 6300 Hz.

• In formule (17) is de cosinus gelijk aan 1 aan de overgang van absorptiemateriaal naar beton. De sinus is daar gelijk aan nul. Z_r nadert dus tot oneindig.

• In dezelfde formule gaat juist de cosinus naar nul en de sinus naar 1 indien k_ad_a = π/2. Wat cijferwerk leert dat dan geldt: d_a = λ/4. De bijbehorende golflengte is 40 cm overeenkomend met een frekwentie van 850 Hz indien de geluidsnelheid gelijk is aan 340 m/s.

• Indien k_a een reëel getal zou zijn zou dat betekenen dat Z_r = 0. En dat leidt weer tot R_p = -1. Een reflectiecoëfficiënt van -1 is net zo slecht als +1 want leidt tot α = 0. Bij absorptiematerialen zijn W en k echter altijd complex, waardoor Z_r ongeveer gelijk kan worden aan W₀ en dan stijgt α tot 1.

• Zo’n berekening is met papier en potlood vrijwel niet te doen, maar de computer is geduldig, getuige figuur 6. De figuur is echter wel tot stand gekomen via trial and error waarbij de bulk modulus van het materiaal (zie webpagina B.3.1) werd gevarieerd voor een optimaal resultaat. Die blijkt ongeveer bij 30 kg/m,³ te liggen.

• Voor frekwenties onder ca. 850 Hz daalt de absorptiecoëfficiënt. Er bestaat geen combinatie van W en k waarbij de absorptie bij bijvoorbeeld 100 Hz aanzienlijk kan worden opgevoerd, althans niet bij een laagdikte van 10 cm.

• Dat leidt tot de belangrijkste vuistregel voor de ontwerper van absorberende constructies: Geluid wordt alleen goed geabsorbeerd voor frekwenties hoger dan de frekwentie die (ongeveer) overeenkomt met een kwart-lambda-golflengte.

• Helaas, de vuistregel is een noodzakelijke maar geen voldoende voorwaarde. In figuur 6 is het materiaal uitgezocht op een optimale absorptiecurve. Dan komen we uit bij een bulkmodulus (voor glas- en steenwol) van 30 kg/m³. Een lichtere soort glaswol absorbeert minder, maar een zwaardere soort ook.

• Bovendien moet een andere bulk-modulus worden gekozen bij een andere laagdikte. We komen daarop uitgebreid terug in de volgende webpagina.

 

4.2    Het geluiddrukniveau in een situatie met absorptie aan weerszijden

In deze paragraaf wordt een voorbeeld gegeven van een situatie waarin een laag lucht aan weerszijden wordt begrensd door half-oneindige lagen absorptiemateriaal. Het voorbeeld toont tegelijkertijd een zwakte van het model: er zijn alleen lagen mogelijk loodrecht op de voortplantingsrichting. Het is dus een ééndimensionaal model. Figuur 7 geeft de situatie. De absorberende lagen hebben ditmaal geen betonnen achterlaag, maar dat doet voor dit voorbeeld niet ter zake. De luchtlaag is 6 m breed.

Figuur 7:  Een situatie met een luchtlaag en twee half-oneindige delen absorptiemateriaal.

 

Figuur 8:  De geluiddrukniveaus in de situatie van figuur 7.

Vooruitlopend op de volgende webpagina kan hier vast worden vermeld dat links een stromingsweerstand is gebruikt van 10⁶ rayl/m en rechts 10⁴ rayl/m.

 

In figuur 8 worden twee uitdraaien gegeven van het geluiddrukniveau als functie van de bron- en mikrofoonpositie. De bron bevindt zich op een bepaalde afstand van de linkerwand; die grootheid staat langs de linker-as. De rechter-as geeft de afstand van de mikrofoon tot de wand. Het berekende geluiddrukniveau in dB's is in verticale richting uitgezet, waarbij 0 dB het geluiddrukniveau representeert indien beide wanden zouden ontbreken.

In de linker figuur is de absorptie zeer gering gekozen. Er moet altijd wel een klein beetje absorptie in het model zitten, want zonder absorptie nadert het geluiddrukniveau in de pieken tot oneindig. In het model wordt een serie frekwenties doorgerekend maar hier wordt er slechts één getoond. De frekwentie is gekozen bij ca. 171 Hz, dus bij een golflengte van 2 m indien c = 342 m/s. De golflengte past dus driemaal in de wandafstand van 6 m en we zien dus zesmaal hetzelfde golfpatroon.

De "staande golven" zijn links zeer hevig door de geringe absorptie. Als de absorptiecoëfficiënt van het materiaal wordt opgevoerd zoals in de rechter figuur, worden de pieken veel geringer. De maxima van ca. 35 dB worden teruggebracht tot 10 dB. Ze kunnen uiteraard nog verder dalen indien de impedantie van het materiaal nog meer lijkt op W₀ =410 rayl van lucht.

Zoals te verwachten loopt de geluiddruk op bij de wanden. De deeltjessnelheid nadert juist tot nul bij de wanden, maar dat geldt het sterkst voor een materiaal met een lage absorptiecoëfficiënt. Als de absorptie oploopt, stijgt ook de snelheid aan de wand. Dat betekent ook dat de geluiddruk bij de wanden juist wat afneemt. Het is in de figuur niet goed te zien maar het geluiddrukniveau aan de wanden is minder dan in de overige pieken. Het staande-golfpatroon is daardoor ook niet precies 2.0 m. Links wordt nog wel 2.00 gevonden, maar rechts dringt het golfpatroon als het ware in de wanden en wordt de herhalingsafstand gelijk aan 2.06 m.

 

5.    Een toegift: de transmissiecoëfficiënt van een constructie

5.1    De berekening

Het valt een beetje buiten het bestek van deze site, maar het is toch wel interessant om hier ook de transmissiecoëfficiënt te behandelen. Helaas is dat wat omslachtiger dan de absorptiecoëffiënt omdat daar nogal wat termen tegen elkaar wegvielen, hetgeen bij transmissie niet het geval is.

We herhalen figuur 3 en formule (2) om een en ander uit te leggen.

Figuur 3-herhaling:  Een gelaagde constructie van n lagen dat kan worden ingevoerd in het rekenmodel. Het doel van het model is dan om de impedantie te berekenen op de overgang van M1 naar M2.

 

,

(2-herhaling)

 

De intensiteit van de invallende golf op een constructie wordt berekend uit het geval dat de bron in een oneindig medium staat, dus zonder constructies. Er geldt dan naar analogie van de voorgaande webpagina B.3.1:

,

(18)

waarin v₀ de (arbitraire) bronsterkte uit figuur 4 is en W₁ de impedantie van medium M1. Dat medium is meestal lucht, maar dat hoeft niet. Daarom wordt ook gerekend met het reële deel van W₁. Voor lucht is W altijd reëel en is de aanduiding "Re" dus overbodig.

 

Om de transmissie te kunnen berekenen moet de intensiteit bekend zijn die in medium Mn de constructie verlaat, maar de druk en de snelheid die daar waren aangenomen waren voorlopige grootheden p = W_r en v = 1.

Tijdens de stapsgewijze extrapolatie van Mn naar M1 veranderen p en v telkens van waarde, waarna op de grens van M1 en M2 kan worden geschreven:

,

(19)

en:

.

(20)

De grootheden p_in en v_in moeten ook voldoen aan de formules (7) en (9). Om dan te voldoen aan formule (2-herhaling) aan de rechterzijde van de constructie ontstaat, een verhoudingsgetal dat vervolgens op alle grootheden in de extrapolatie kan worden toegepast. Er geldt dan voor de uittredende golf helemaal rechts in de tekening:

,

(21)

en:

.

(22)

En aangezien geldt dat Z_r = p_r / v_r = p_in / v_in kan dit ook geschreven worden als:

.

(23)

Dat is ook een logische uitkomst: de vermenigvuldiging van p en v moet gelijk zijn door de gehele constructie.

Mede daardoor is p_uit niet nodig; voor de uittredende intensiteit in Mn is v_uit voldoende. Dus geldt daarvoor:

.

(24)

Nu is de transmissiecoëfficiënt τ  te berekenen door deze grootheid te delen door de invallende intensiteit van formule (18):

.

(25)

 

In het overgrote deel van de praktijkgevallen vinden we lucht aan de ingang (medium M1) en aan de uitgang (medium Mn) van de scheidingsconstructie. De rechterfactor valt dan weg omdat W_r = W₁. Strikt noodzakelijk is dat niet. Het is bijvoorbeeld mogelijk om de transmissie te berekenen van een scheepshuid met aan de ene zijde water en aan de andere zijde lucht. Maar dan zijn de grootheden W₁ en W_r reële grootheden en hoeft de toevoeging "Re()" er niet bij. Dat heeft slechts zin bij energieverlies in het medium, dus als Mn bijvoorbeeld bestaat uit glaswol. Maar zelfs dan zal men dan eerder glaswol opnemen als een laag Mn-1.

 

5.2    Een simpel voorbeeld: de massawet

In de volgende webpagina zal een aantal voorbeelden worden doorgerekend van absorptie, transmissie komt daar niet meer in beeld, zodat we hier een klein voorbeeld zullen laten zien.

We gaan uit van een plaat staal. Om het simpel te houden wordt daar alleen een twee-bij-twee-matrix van gegeven bij loodrechte inval. In het rekenmodel geldt voor een vaste stof steeds een vier-bij-vier-matrix, maar die speelt vooral een rol bij scheve inval.

 

Gegeven is:

• Eén enkele staalplaat met dikte d_st, bijvoorbeeld in de orde van 1 cm. In de berekening wordt van rechts naar links geëxtrapoleerd, zodat d_st een negatieve waarde krijgt. Dat doet overigens in het eindresultaat niet ter zake doordat een kwadratering plaats vindt.

• De plaat is verliesvrij, dus het golfgetal k_st en de karakteristieke impedantie W_st zijn reële grootheden.

• Aan de voor- en achterzijde van de plaat bevindt zich lucht met een impedantie W₀.

 

De matrix voor de stalen plaat lieden we af uit formule (1), die met aangepaste indices en weglating van de mintekens wordt gegeven als:

.

(26)

 

De waarde van k_st hangt af van de frekwentie en de geluidsnelheid (=5200 m/s), dus in veel praktische gevallen kan worden gesteld dat k_st d een klein getal is. Dan mogen de cosinus en sinus worden benaderd en als we dan ook nog aannemen dat W_st naar verhouding zeer groot is staat er:

,

(27)

De totale overdracht luidt dan:

,

(28)

zodat na uitdeling van p en v de grootheid Z_r bekend is.

Nu kan τ worden berekend volgens formule (25). Er geldt dat a₂₁ = 0 en W_r = W₀, dus het resultaat is vrij simpel:

.

(29)

Dit is de massawet, al moeten er nog wat dingen worden omgezet om tot de conventionele schrijfwijze te komen.

 

De geluidisolatie wordt altijd uitgedrukt in decibellen en D wordt dan gegeven als:

(30)

De grootheid τ is altijd een getal tussen 0 en 1. Een simpele logaritme leidt dan tot een negatief getal, maar in de praktijk is afgesproken om daar een positief getal van te maken door het minteken toe te voegen. Dat kan echter ook worden bereikt door τ ondersteboven te zetten:

.

(31)

 

De grootheden k en W kunnen worden herschreven:

,

(32)

waarna formule (31) gelijk wordt aan:

.

(33)

In de praktijk wordt vaak de linker term gelijk aan 1 weggelaten, maar dat kan bij lage frekwenties tot negatieve geluidisolaties leiden omdat de rechterterm wel degelijk kleiner kan worden dan 2×410, de impedantie van lucht. Door de correctere schrijfwijze van formule (33) kan de geluidisolatie niet onder 0 dalen.

 

6.    Maar deugen de uitkomsten van het model eigenlijk wel?

Het zou mooi zijn als de uitkomsten van het rekenmodel overeenkomen met metingen uit de praktijk. Strikt genomen is dat niet noodzakelijk. Een model kan worden gebruikt om bepaalde wetmatigheden toe te lichten zonder dat de nauwkeurigheid groot is, maar de pretenties van het hier gegeven model reiken wel wat verder.

Het antwoord op de vraag onder welke omstandigheden het model voldoende nauwkeurig is, wordt uitgesteld tot de volgende webpagina B.3.3 waar enige exercities met het model worden uitgevoerd. Wel kan vast worden verteld dat het model gedrag vertoont dat vaak bij akoestische modellen voorkomt: een kleine verschuiving van pieken en dalen langs de frekwentie-as. In figuur 8-links zijn zeer sterke slingers te zien als functie van de coördinaten, maar dezelfde slingers zijn te zien als functie van de frekwentie. Als dan bijvoorbeeld bij één specifieke frekwentie wordt gekeken kan een rekenmodel er zomaar 10 dB naast zitten. Maar als dan naar de frekwentieplot wordt gekeken blijkt het "beeld" wel goed te kloppen, zij het langs een verschoven frekwentieschaal.

 

Het model faalt bij de berekening van alzijdige inval. De berekening van de reflectiecoëfficiënt per invalshoek gaat goed, maar een simpele methode om een alzijdige waarde te vinden voor de absorptiecoëfficiënt door integratie over alle invalshoeken ontbreekt, zodat het niet lukt om de getallen te voorspellen die uit een meting in de nagalmkamer komen. Echter, het goede nieuws is dat materialen in de praktijk altijd beter presteren dan in het model voor alzijdige inval. Het model heeft zijn sporen verdiend bij geluidoverdracht in de buitenlucht en bij transmissie dóór constructies, ook bij scheve inval. Te verwachten valt daarom dat het model goed werkt als de absorptie wordt berekend van een puntbron op enige afstand van een grote vlakke absorberende plaat. De integratie over meerdere hoeken gaat dan goed door toepassing van fouriertechnieken. Een bolvormige golf wordt ontleed in vlakke golven, vervolgens worden de absorptiemodellen erop los gelaten, waarna de vlakke golven weer worden terug getransformeerd tot een bolgolf. Bij modellen in de buitenlucht komt die situatie inderdaad voor, bijvoorbeeld bij geluidbronnen boven graslanden. Maar zo’n situatie treffen we in gebruikelijke binnenruimten nooit aan en al helemaal niet in een nagalmkamer. In de volgende webpagina zullen we zien dat het transmissiemodel wel uitermate gesschikt is om constructies onderling te vergelijken.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---