1.    Inleiding

Op vele plaatsen in deze site worden nagalmcurven behandeld. Die tonen een curve die ontstaat als een continu signaal wordt uitgeschakeld en het uitstervend geluid wordt geregistreerd door meetapparatuur. Dat betekent overigens niet dat daartoe een continue bron noodzakelijk is, want er zijn reken- en meettrucs om de curve uit andersoortige signalen af te leiden. Hoe dat werkt is vooral behandeld in webpagina "B.11 Meten nagalmcurve". Uit de helling van de curve wordt de nagalmtijd bepaald, maar de curve heeft ook een geluiddrukniveau dat heerst voordat de bron wordt uitgeschakeld. Het geluiddrukniveau hangt af van het geluidvermogen van de continue bron maar ook van de akoestische eigenschappen van de ruimte. De helling werd behandeld in webpagina B.11 aan de hand van theorie en metingen, het geluiddrukniveau werd behandeld in B.12 waarbij ook de grootheid G (strength) werd geïntroduceerd in plaats van het geluiddrukniveau.

 

In dezelfde webpagina B.11 is de "SFJ-theorie" behandeld, vernoemd naar Sabine, Franklin en Jaeger. In die theorie is de  nagalmcurve een dalende rechte lijn, maar in B.11, figuur 5 werd duidelijk gemaakt dat dat in de praktijk lang niet altijd het geval is. Nagalmcurven zijn "concaaf" of in jargon: "nagalmcurven zakken door". Een belangrijke reden voor dit effect zal in de huidige webpagina worden uitgelegd. De theorie, die teruggaat tot Sabine (rond 1900), werkt met een kubusvormige ruimte (zonder dat expliciet te noemen), maar de kubus komt in de architectuur niet vaak voor; de grondvorm van veel architectonische ruimten is een langwerpige ruimte waarin lengte, breedte en hoogte verschillend zijn.

Een rechthoekige ruimte leidt niet alleen tot concave curven, maar ook het geluiddrukniveau (of G) verandert indien wordt afgeweken van de kubus. Vrijwel altijd is de nagalmtijd in langwerpige ruimten langer dan in een kubus en als een gemiddelde absorptiecoëfficiënt wordt berekend uit de eigenschappen van de materialen in de ruimte, zoals gedaan in webpagina "B.4, Absorptie in tablevorm", ligt daardoor een teleurstelling op de loer indien de nagalmtijd moet voldoen aan een bepaalde norm. In B.4, hoofdstuk 5 is daarom al een waarschuwing gegeven.

 

De akoestische eigenschappen van een rechthoekige ruimte laten zich het beste illustreren in een twee-dimensionale ruimte. Er kan dan bijvoorbeeld een interessant probleem worden opgelost: Gegeven een bepaalde hoeveelheid absorptiemateriaal, hoe moet dat worden verdeeld over de lange en de korte zijden? Die vraag kan uiteraard ook worden gesteld in het 3D-geval, maar de derde dimensie kan dan rekenkundig flink in de weg zitten. Pas na de 2D-rechthoek zullen we de 3D-rechthoek beter begrijpen. De huidige webpagina behandelt daarom allereerst de akoestische theorie voor een 2D-ruimte. Daartoe wordt zelfs teruggeschaald naar het ééndimensionale geval. De toepassing van de 2D-theorie komt in de huidige webpagina B.13.1 niet aan de orde, daarvoor is een aparte webpagina B.13.2 geschreven. Maar zelfs daar worden alleen theoretische ruimten behandeld.

 

2.    Het spiegelbronnenmodel in twee dimensies

2.1    De overgang van drie naar twee dimensies

In de voorgaande theoriepagina’s is een aantal formules afgeleid, in alle gevallen voor 3D-ruimten. Voor al die formules bestaat een 2D-equivalent. Er wordt dan uitgegaan van een rechthoekige ruimte waarin zich een bron bevindt. Die bron is nu een lijnbron waarbij de lijn loodrecht op het vlak van de rechthoek moet worden gedacht.

 

In webpagina B.1.1 staat in formule (7) de geluiddruk p als functie van het bronvermogen W, de dichtheid ρ van lucht, de geluidsnelheid c in lucht en de afstand r tussen bron en ontvanger. Bij de overgang van drie naar twee dimensies gaat de geluidvoortplanting van een bol naar een cirkel en staat er:

 

	3 dimensies, puntbron	2 dimensies, lijnbron
Geluiddruk als functie van (o.a.) het vermogen per meter en de afstand r

 

De dimensies blijven kloppen omdat het vermogen W_2D van een lijnbron wordt gegeven in watt per meter. Het volume V van een 3D-ruimte gaat in 2D over in een oppervlakte O en de 3D-oppervlakken S gaan over in 2D lengtes die M worden genoemd bij een vierkant en L en B bij een rechthoek.

 

Nu wordt verondersteld dat er ook tweedimensionaal absorptiemateriaal bestaat. De absorptiecoëfficiënt α geeft dezelfde verhouding van invallend en gereflecteerd vermogen, maar om tot de totale absorptielengte A_2D te komen wordt vermenigvuldigd met de lengte M, zodat de het absorberend oppervlak A_3D overgaat in de absorberende lengte A_2D. Verder was in webpagina B.6.1 afgeleid dat de gemiddelde vrije weglengte mfp (mean free path) een belangrijke rol speelde bij de afleiding van de nagalmtijdformule. Bij de overgang van 3D naar 2D verandert de factor 4 in π.

Voor de waarde van G uit webpagina B.12 werd het geluidvermogen op een bepaalde afstand vergeleken met het vermogen van een puntbron op 10 m afstand, waardoor een term 31 verscheen in de formules. Als ook in 2D wordt vergeleken met 10 m gaat het getal 31 over in 18. Het 3D-geval is ingeburgerd in de akoestische wereld, het getal 18 in de 2D-wereld hebben we als analogie zelf afgeleid.

 

	3 dimensies, puntbron	2 dimensies, lijnbron
Totale absorptie in vierkante of strekkende meters
Totale oppervlakte of lengte
Gemiddelde absorptiecoëfficiënt
Gemiddelde vrije weglengte]
Geluiddrukniveau
Geluidvermogenniveau voor G
G volgens SFJ-theorie
Nagalmtijd volgens Eyring
Nagalmtijd volgens Sabine
Formule nagalmcurve, zonder direct geluid, als functie van de tijd t
G0, de waarde van G (zonder direct) op t = 0
Gmfp, de waarde van G indien          t = mfp/geluidsnelheid

 

In de formules voor het geluiddrukniveau is de simpelste vorm gebruikt, geheel volgens de SFJ-theorie. Ingewikkelder (en nauwkeuriger) vormen staan vooral in webpagina "B.10.5, Barrons afstandsformule".

 

2.2    Geluidvoortplanting tussen evenwijdige platen

Het 2D rechthoekige model is geïntroduceerd om de geluidvoortplanting in de twee hoofdrichtingen te bestuderen. We zullen daartoe eerst de richtingen afzonderlijk bestuderen en gebruiken daarvoor het ééndimensionale spiegelbronnen-model uit figuur 1.

Figuur 1:  Mogelijke spiegelbronnen bij twee evenwijdige vlakken. De eigenlijke bron en de mikrofoon zijn niet getekend, maar moeten precies in het midden worden gedacht. Uiteraard kunnen bron en mikrofoon eigenlijk niet op dezelfde plaats staan in een reële situatie. Maar als alleen het galmveld wordt beschouwd zonder direct geluid is dat wel degelijk mogelijk.

 

In de ruimteakoestiek wordt met vrucht gebruik gemaakt van het spiegelbronnenmodel. Daarbij wordt een ruimte verondersteld waarvan de wanden vlakke spiegels zijn. Voor de lage frekwenties voldoet het model niet omdat de golflengte van het geluid dan te groot is in verhouding tot de afmetingen van de spiegelende wanden, maar voor hogere frekwenties gaat dit bezwaar niet op. Alle ray-tracing-modellen zijn op dit principe gebaseerd. Zij sturen geluidstralen vanuit de bron alsof het lichtstralen zijn en geven dus per definitie een hoogfrekwente benadering. We zullen het spiegelbronnenmodel thans gebruiken voor het allersimpelste geval: twee oneindig grote evenwijdige vlakken op een afstand M. Verder veronderstellen we dat beide vlakken dezelfde reflectiecoëfficiënt R hebben.

Midden tussen de zwart getekende vlakken van figuur 1 veronderstellen we een geluidbron die niet is getekend. De mikrofoon wordt ook in het midden gekozen, maar ontbreekt ook in de tekening. We veronderstellen verder een lijnbron, loodrecht op het vlak van tekening, die in alle richtingen even sterk straalt.

Het ligt voor de hand te veronderstellen dat we in figuur 1 een overgang zien van 2D naar 1D, maar dat is wiskundig gezien niet het geval. Bij een wiskundige overgang zouden we ook de bron moeten terugschalen van een lijnbron naar een vlakke-plaatbron evenwijdig aan de twee grensvlakken. Dat wordt hier dus niet gedaan.

 

De rode spiegelbron S₃ in figuur 1 met drie reflecties wordt als voorbeeld genomen; die heeft een afstand 3M tot de mikrofoon. De bijdrage van die bron aan het kwadraat van de geluiddruk is uitgebreid aan de orde geweest in webpagina B.1.1.  aan de orde geweest. De daar gegeven formule (7) wordt hier herhaald, maar geschreven als:

,

(1)

met:

M	=	de afstand tussen de wanden
ρ	=	dichtheid van lucht
c	=	geluidsnelheid
W0	=	het vermogen van de lijnbron in W/m1
R	=	de reflectiecoëfficiënt van beide wanden [[1]]

 

Bij een continue situatie staan alle spiegelbronnen "aan". De totale sterkte kan dan worden geschreven als:

,

(2)

waarbij de factor 2 verschijnt omdat zowel links als rechts bronnen gespiegeld zijn in een symmetrisch systeem [[2]]. Verder wordt weer verondersteld dat de geluiddrukken kwadratisch mogen worden opgeteld zodat fase-effecten (die zorgen voor staande golven) afwezig zijn. Merk op dat in deze berekening de bijdrage van het directe geluid is weggelaten.

 

In webpagina B.10.1 wordt in de formules (5) t/m (7) uitgelegd hoe formule (2) kan worden omgeschreven tot een geluiddrukniveau. Er volgt dan:

.

(3)

 

Deze formule geeft het geluiddrukniveau van een continue geluidbron. Maar uiteraard is het geval waarbij de continue bron wordt uitgeschakeld nog veel interessanter. Het geluidniveau L_p(t) daalt met de voortschrijdende tijd t. In webpagina B.6.1 wordt dat "netjes" gedaan met pulsen en sprongfuncties; hier kiezen we de numerieke aanpak. Na een tijd t = M/c verdwijnt de eerste term R tussen de haakjes, na t = 2M/c verdwijnt ook R²/2, enz. Er ontstaat een trapjescurve die in figuur 2 nader wordt toegelicht.

 

Als L_W,2D = 18 (dus de 2D-bron in een 1D-configuratie) wordt gekozen kan L_p worden vervangen door G_0,1D, zie B.12.1, formules (3) en (4). De reeks tussen de haakjes behoort tot de standaardreeksen behorend bij -ln(1-R), zodat formule (3) overgaat in:

.

(4)

 

Voor de nagalmtijd RT is helaas geen gesloten wiskundige oplossing te vinden. Figuur 2 laat zien waarom dat is: er is geen sprake van een rechte lijn, zodat ook de helling varieert met de uitklinktijd. Toch wordt hier een "soort van" 1D-nagalmtijd geïntroduceerd. Dat gebeurt door simpelweg de RT-formules uit de 3D-wereld te vertalen naar 1D. Er volgt dan in eyring-vorm:

.

(5)

Uiteraard is mfp in het 1D geval gelijk aan de afstand M, zodat ook kan worden geschreven:

.

(6)

 

Later zal duidelijk worden waarom we deze pseudo-nagalmtijd gebruiken voor de helling van de uitstervende curve. Die is getekend in figuur 2 als brede blauwe rechte lijn.

Figuur 2: De nagalmcurve (schroedercurve) indien een continue bron wordt uitgeschakeld in de situatie uit figuur 1 (rode curve). De afstand M = 10m. De reflectiecoëfficiënt R is gelijk aan 0.8 overeenkomend met 20% absorptie.

De stappen liggen dus 0.029 s uit elkaar bij M = 10 m. Het directe geluid doet niet mee.
In blauw is de curve getekend volgens de formules (4) en (5). De groene lijn is berekend na curve-fitting aan de rode lijn over het interval van -5 tot -35 dB t.o.v.het maximum.

 

De figuur toont de volgende eigenschappen:

• Het aantal spiegelbron is in 1D relatief gering waardoor trapjes zichtbaar worden. Later in dit verhaal worden meer spiegelbronnen meegerekend en zijn de stappen nauwelijks meer zichtbaar. De tijdstap tussen de bronnen is 0.029 s, een waarde gelijk aan 10 m gedeeld door de geluidsnelheid.

• De waarde op tijdstip t = 0 bepaalt het geluiddrukniveau van de continue bron. In dit geval is dat 5.1 dB. Dat is de uitkomst van zowel formule (4) als van het numerieke rekenproces.

• De helling van de curve bepaalt de nagalmtijd. Echter, de curve is helemaal geen rechte, ook niet als we de trapjes in de curve negeren. De blauwe lijn geeft een combinatie van formules (4) (voor het beginpunt) en formule (5) voor de helling. De helling wordt nog het best voorspeld voor grote waarden van de tijd. Dat kan alleen in beeld worden gebracht door in de figuur een zeer groot bereik van 90 dB te kiezen langs de y-as.

• Uiteraard kan er altijd een rechte worden gefit aan een deel van de curve, hoe slingerend ook. De groene curve geeft een rechte tussen een interval van -5 tot -35 dB ten opzichte van het maximum van 5.1 dB. Probleem bij dit soort dorzakkende curven is dat ieder interval een andere nagalmtijd geeft.

 

2.3    De invloed van de afstand tussen twee vlakken in het 1D-geval

Als we in figuur 1 de afstand M variëren en vervolgens de nagalmcurve in beeld brengen, zien we een fenomeen, dat geïllustreerd wordt in figuur 3.

Figuur 3: Twee nagalmcurven met verschillende afstanden M voor een situatie als in figuur 1. De rode lijn is voor M = 20 m, de blauwe lijn geldt bij M = 5 m. De reflectiecoëfficiënt is in beide gevallen 0.8.

De waarde van G op t = 0 is gelijk aan 8.1 dB voor de blauwe curve en 2.1 dB voor de rode.

 

De blauwe curve geeft een geval als in figuur 3 maar M is nu gelijk aan 5 m. De rode lijn vinden we als die maat wordt vergroot tot 20 m.

Als M kleiner wordt, daalt de afstand tussen de spiegelbronnen en stijgt het geluiddrukniveau in t = 0 . Echter, als de continue bron wordt uitgezet dempen de reflecties door de kleinere afstand M sneller uit. Als we dus de afstanden 20 en 5 m vergelijken (zoals in figuur 3) blijken de twee curven elkaar te snijden.

Op zich zijn dit soort effecten overbekend. In drie dimensies betekent een grotere ruimte (bij gelijkblijvende reflectiecoëfficiënt) een langere nagalmtijd; een kathedraal galmt langer dan een huiskamer. Maar het geluidniveau van een geluidbron in de kathedraal is lager.

 

2.4    Een 2D-rechthoek met homogene absorptieverdeling langs alle lijnen

Figuur 4 toont een voorbeeld in twee dimensies van een rechthoek. We nemen aan dat L = 20 en B = 5 m.

Figuur 4:  Mogelijke spiegelbronnen bij een tweedimensionale rechthoek.

 

Figuur 5 toont drie curven. De blauwe en rode curve waren al getekend in figuur 3 voor beide eendimensionale gevallen waarin dus alleen de blauwe of de rode spiegelbronnen uit figuur 5 zijn meegerekend. De zwarte curve rekent ook alle zwarte spiegelbronnen mee. Het aantal zwarte spiegelbronnen is veel groter dan het aantal blauwe en/of rode en het tweedimensionale geval is dan ook zeker geen optelling van de twee eendimensionale gevallen.

Figuur 5: Herhaling van de twee eendimensionale curven uit figuur 3. Toegevoegd is de zwarte curve die alle speiegelbronnen meerekent. Alle lijnen hebben een gelijk reflectiecoëfficiënt van 0.8. De rode is berekend met M = 20 m, de blauwe met 5 m. De bovenste zwarte lijn representeert de tweedimensionale rechthoek met L = 20 m en B = 5 m.

 

In figuur 5 zien we de volgende effecten:

• Boven t = 0.2 s bepaalt de rode curve de vorm van de zwarte. De zwarte curve ligt hoger dan de rode omdat er, volgens figuur 4 veel meer spiegelbronnen meedoen.

• Onder t = 0.1 s wordt de zwarte curve meer bepaald door de blauwe curve.

• De G-waarden zijn 2.1 dB voor rood, 8.1 dB voor blauw en 12.7 dB voor zwart. De zwarte waarde is dus niet zomaar een simpele logaritmische optelling van de rode en de blauwe curve. Dan was er 9.1 dB uitgekomen.

 

2.5    Een rechthoek vergeleken met een vierkant

In figuur 6 wordt de zwarte curve uit figuur 5 vergeleken met een vierkant. Daarbij moet worden gekozen hoe groot het vierkant is. Als het oppervlak gelijk wordt gehouden leidt 100 m² tot een vierkant met M = 10 m. In dat geval zijn de omtrekken niet gelijk, de rechthoek meet 50 m¹, het vierkant 40 m¹. Dat betekent dus dat er in de rechthoek meer absorptiemateriaal zit als de reflectiecoëfficiënt op R = 0.8 wordt gehouden. Als we juist de hoeveelheid absorptiemateriaal gelijk willen houden moet M dus naar 12.5 m¹. Voor deze laatste optie is in de figuur gekozen.

Figuur 6: Vergelijking van een rechthoek (zwart, L = 20 m en B = 5 m) met een vierkant (groen, M = 12.5 m). Rechthoek en vierkant hebben niet hetzelfde oppervlak maar wel dezelfde omtrek. Alle lijnen hebben een gelijke reflectiecoëfficiënt van 0.8 (absorptie 20%), zodat de totale absorberende lengte in beide gevallen gelijk is.

 

In de figuur zijn twee waarden van RT gebruikt. De eyring-waarde is gelijk aan 1.8 s. In die theorie gaat het om een rechte, zodat er geen interval is waarin wordt gefit. Dat moet wel bij de kromme groene en zwarte curven. Gekozen is daar voor het interval van -5 tot -35 dB t.o.v. het maximum.

Ook voor G zien we verschillende waarden. G₀ (eyring) geldt op t = 0 (formule 4). De beide curven hebben bij t = 0 een horizontaal stuk. Dat wordt G genoemd en is niet gelijk aan G₀, want de eerste spiegelbron ligt op een bepaalde afstand van de mikrofoon in het centrum, waardoor het eerste stapje omlaag niet bij t = 0 ligt.

De drie G-waarden liggen in figuur dicht bij elkaar. Ze zijn zelfs nog beter met elkaar in overeenstemming als de verschillende t-waarden worden meegerekend. Het effect wordt nader toegelicht in de volgende webpagina B.13.2. De nagalmtijd mag wel worden vergeleken. De groene nagalmtijd voor het vierkant komt goed overeen met de eyring-waarde: 1.9 versus 1.8 s. Maar in het zwarte geval wijkt de nagalmtijd behoorlijk af van de eyring-waarde.

 

Het probleem is dat de nagalmtijd vaak als norm wordt gehanteerd. Als de rechthoek bijvoorbeeld een sportzaal representeert wordt die afgekeurd op grond van de nagalmtijd. Dat is merkwaardig, want in een sportzaal gaat het meestal om het lawaai en G van de zwarte curve is slechts 0.2 dB hoger dan berekend met eyring. Ook de spraakverstaanbaarheid (hier verder niet behandeld) is in de zwarte zaal in orde.

In de volgende hoofdstukken zal worden gepoogd om de nagalmtijd omlaag te brengen om aan de norm te voldoen. We moeten ons dan wel realiseren dat die oplossingen dus voor een deel cosmetisch zijn. Ze dragen slechts in geringe mate bij aan de verbetering van het akoestisch klimaat als dat wordt bepaald door het geluiddrukniveau.

 

3.    Inhomogene absorptieverdeling in een rechthoek

3.1    De formules van RT en G bij inhomogene verdeling van de absorptie

Tot nu toe is in alle voorgaande voorbeelden steeds dezelfde reflectiecoëfficiënt gekozen: R = 0.8; alleen de lengten M, L en B werden gevarieerd. Thans wordt ook R gevarieerd en zal worden nagegaan hoe de combinatie van afstand en reflectiecoëfficiënt zich gedraagt voor de helling/nagalmtijd.

 

We herhalen eerst formules (5) en (6):

.

(5) en (6) herhaling

Daaruit kan voor een rechthoek met afmetingen L × B de 1D-eigenschappen voor de beide richtingen afzonderlijk worden berekend. Er geldt dan:

(7)

Hierin wordt met R_L de absorptie gekarakteriseerd loodrecht op de lengte L dus juist langs de korte wanden B. Hetzelfde geldt voor B. Enige omzettingen in de formule leren dat dus ook geldt:

(8)

 

Eerder is al vermeld dat deze formules analoog zijn aan de nagalmformule van Eyring. Die kunnen dus weer worden benaderd door de sabine-formule. Er geldt dus ook:

(9)

En dus ook:

(10)

Er moet echter worden gewaarschuwd voor de onnauwkeurigheid van deze benadering. Die geldt alleen bij kleine waarden van α, bijvoorbeeld tot 20%. Maar juist in de inhomogene gevallen zullen we veel hogere absorptiecoëfficiënten zien verschijnen.

 

Overeenkomstige berekeningen gelden ook voor G. Een herhaling van formule (4) is:

,

(4) herhaling

zodat er een overeenkomstige analogie geldt voor G:

(11)

en dat is gelijk aan:

(12)

 

In figuur 7 wordt een voorbeeld doorgerekend waarin formules 7 of 8 voor de 1D-nagalmtijden zijn toegepast. Er wordt gestart met een gemiddelde waarde van α gelijk aan 0.15. Daarna wordt de absorptie verdeeld over de L- en de B-richting zodat de "nagalmtijden" gelijk worden. Daartoe wordt een numeriek iteratieproces gebruikt omdat het resultaat niet rekenkundig te vinden is. Zoals ingeschreven in figuur 7-links komt daar respectievelijk 33% en 10% uit.

 

Figuur 7:  Door manipulatie van de combinatie van de absorptiecoëfficiënt en de afstand tussen de vlakken worden de nagalmcurven berekend. Links zijn de 1D-nagalmhellingen gelijk gemaakt in een rechthoek van 20 × 5 m², rechts is de 2D-curve toegevoegd.

 

In de linker figuur is te zien dat de gelijkschakeling is gelukt wat betreft de helling. Maar de waarden van G₀ verschillen wel, 9.4 dB om precies te zijn, en dat is een aanzienlijk verschil. Het is overigens voorspeld door formule (12).

 

In de figuur 7-rechts is de resulterende 2D-berekening toegevoegd als zwarte lijn; in de figuren 4 en 5 was al uitgelegd welke spiegelbronnen dan een rol spelen. De grootste verrassing is echter dat de zwarte galmcurve kaarsrecht is, op een paar rimpelingen na. De doorzakkende curve van figuur 6 is rechtgetrokken en ook het kromme beeld van de blauwe curve uit figuur 7 is verdwenen. Figuur 7 stemt dus hoopvol: het blijkt mogelijk om een verdeling van de absorberende materialen over de wanden te vinden die de nagalmcurve beïnvloedt. Wellicht kan daarmee de akoestische kwaliteit in een ruimte worden verbeterd.

 

Een overeenkomstige gelijktrekking van G in plaats van RT is ook mogelijk, maar dat heeft weinig praktisch nut en zal hier niet worden gegeven.

 

3.2    Liever Sabine dan Eyring?

De voorgaande beschouwingen zijn gebaseerd op de theorie van Eyring. Dat is allereerst gedaan omdat een theoretische afleiding leidt tot de eyring-varianten van de formules voor RT en G (strength). Ook de simulatiemodellen, waarvan het spiegelbronnenmodel er één is, komen uit op de eyring-variant. Echter de sabine-formules verdienen ook een nadere beschouwing.

 

Formule (10) toont de sabine-variant van de 1D-formules. We rekenen die door indien geldt:

.

(13)

 

Maar hier staat niets anders dan:

,     of simpelweg:         .

(14)

dus een situatie waarin de absorberende lengte gelijk is in de twee hoofdrichtingen. In 3D spreken we dan uiteraard over het absorberend oppervlak.

 

In figuur 8-links wordt een herhaling getoond van figuur 7-rechts, aangevuld met enkele numerieke waarden. Via formule (7) voor de eyring-variant zijn de nagalmtijden van de blauwe en rode 1D-curven gelijk gemaakt. In figuur 8-rechts zijn de 1D-nagalmtijden gelijk gemaakt met behulp van formule (14), dus de sabine-variant. Op het oog lopen de rode en blauwe curve aan de linkerzijde mooier parallel dan aan de rechter zijde, maar dat komt deels omdat langs de tijdas slecht 0.8 s is afgebeeld.

 

Figuur 8:  Een vergelijking tussen de eyring-variant, links, en de sabine-variant, rechts.

 

De sabine-variant In figuur 8-rechts toont een lagere RT en G dan de eyring-variant in de linker figuur. Dat is wel een beetje verrassend, want bij een simpele berekening is juist de eyring-variant wat lager. De verschillen zijn overigens gering en voor de praktijk nauwelijks van belang.

Maar het is wel een plezierige verrassing. Het rekenen in de eyring-variant is nl. ingewikkelder; om de grootheden in formule (7) gelijk te maken is een iteratieproces noodzakelijk. Bij een sabine-berekening wordt simpelweg de totale absorberende lengt in tweeën gedeeld en toegekend aan de lange en de korte zijde. Daarom zal in de webpagina’s B.13.2 en B.13 verder uitsluitend met de sabine-formules worden gerekend.

 

Eigenlijk was de toepassing van de formules (7) en/of (14) een hypothese dat de minimale waarden van RT en G in de buurt van die gelijkheden zouden liggen. Er was verder geen wiskundig bewijs. Ook na de berekeningen is dat bewijs er niet maar er kan numeriek wel rond de voorkeurswaarden 0.375 en 0.094 worden gevarieerd. Er zijn tot nu toe alleen maar waarden gevonden waarbij RT en G dan stijgen.

 

4.    De consequenties in volgende webpagina’s

De bedoeling van dit deel van de website is om enig idee te krijgen van de hoeveelheid absorptiemateriaal en de verdeling over de wanden in een ruimte. Die vragen worden in de huidige webpagina niet beantwoord, hier gaat het om de methode en de onderliggende theorie. In de volgende webpagina B.13.2 zullen we de methode toepassen, maar de echte praktijkregels komen in de bovenliggende webpagina B.13 en vooral B.14 aan de orde. Er wordt dan een aantal voorbeelden doorgerekend, allereerst weer in twee dimensies, later uitgebreid naar echte 3D-gevallen.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---