B.12.1
Enkele formules ter introductie van
G (strength)

1. Van geluiddrukniveau naar G

In het voorgaande theoriehoofdstuk B.10.1 is het geluiddrukniveau L_p van een bron afgeleid als:

,

(1)

met:

LW	=	akoestisch vermogenniveau van de gebruikte geluidbron
Q	=	richtingscoëfficiënt van de bron
r	=	afstand tussen bron en ontvanger
α	=	gemiddelde absorptiecoëfficiënt van de ruimte
A	=	totaal absorberend oppervlak van de ruimte

 

Bij de formule hoort een grafiek die in figuur 1 is gegeven.

Figuur 1:  Uitwerking van formule 1. De zwarte lijn geeft het eigenlijke geluidniveau. Als alleen de eerste term tussen de haakjes wordt meegerekend ontstaat de rode curve. Dat doet zich voor in een geluiddode kamer. De tweede term (in groen) representeert het aandeel van alle reflecties. Het is hier niet afhankelijk van de afstand.

 

De grootheid L_p hangt af van de bronsterkte L_W. De nagalmtijd daarentegen hangt niet af van de bron, maar uitsluitend van de geometrische eigenschappen (lengte breedte, hoogte) en van de akoestische eigenschappen van de ruimte: de gemiddelde absorptiecoëfficiënt en het totaal absorberende oppervlak A.

 

In de praktijk wordt de bron¬sterkte vaak geëlimineerd door een nieuwe parameter te introduceren die in deze site wordt aangeduid met "G" en af en toe met “G (strength)”. Het doel van de invoering van G is om het geluidniveau L_p te elimineren en een grootheid te gebruiken die onafhankelijk is van het bronvermogen L_W. De verwijdering uit formule (1) vindt plaats door de waarde van L_p te vergelijken met het geluidniveau dat een omnidirectionele bron met hetzelfde vermogen zou veroorzaken op 10 m afstand in het vrije veld. Dus:

,

(2a)

met:

.

(2b)

 

De tweede term binnen de haakjes in formule (1) is verdwenen aangezien het om een bron in het vrije veld gaat. Bovendien is nu Q = 1 omdat de bron omnidirectioneel is.

Invulling van r = 10 levert:

.

(3)

 

Nu wordt G gevonden door formules (1) en (3) van elkaar af te trekken. Het resultaat is:

.

(4)

 

2. IJking van de bron

Aangezien de bronsterkte ontbreekt in formule (4) zou men licht veronderstellen dat een ijking van de bron niet meer nodig is. Dat is echter een misverstand. Immers, men moet minimaal L_W weten om L_norm te kunnen vaststellen. Daarbij wordt echter nooit op 10 m in het vrije veld gemeten, al was het maar omdat een dode kamer van die afmetingen niet makkelijk te vinden is; L_W wordt altijd gemeten in een nagalmkamer (of een ruimte die daar op lijkt) door formule (1) in omgekeerde volgorde te gebruiken:

.

(5)

 

Als niet al te dicht bij de bron wordt gemeten (ruim buiten de galmstraal) mag de eerste term worden verwaarloosd ten opzichte van de tweede. Juist omdat een nagalmkamer wordt gebruikt is dat vanaf 2 m altijd al het geval. A en α worden bepaald uit een nagalmmeting; L_p wordt op een paar plaatsen in de ruimte gemeten met een geijkte geluiddrukniveaumeter.

 

3. De correlatie van G en RT via het G-RT-diagram

Om de correlatie tussen G en RT te kunnen nagaan is in de bovenliggende webpagina B.12 het G-RT-diagram geïntroduceerd waarin beide grootheden tegen elkaar worden uitgezet. In formulevorm zien we:

,

(6)

.

(7)

In figuur 2 staat een curve voor een oplopende reeks waarden van de absorptiecoëfficiënt.

Figuur 2: Het G-RT-diagram bij oplopende absorptiecoëfficiënt indien volume en oppervlak bekend zijn.
De rode punt geeft een verzonnen meetpunt. De voorgestelde ruimte is een sporthal van 48 × 30 × 10 m³.

 

De formules (6) en (7) zijn gebaseerd op de Sabine-theorie. Zoals ook al uiteengezet in B.10.1 is er ook een Eyring-variant. Sabine en Eyring ontlopen elkaar niet veel voor kleine waarden van α, maar aan die voorwaarde wordt in de meetpraktijk niet altijd voldaan. Aanpassing van de formules is dan eenvoudig.

 

4.    Geluiddrukniveau en G, gemeten met de nagalmcurve

4.1    Theorie

In de bovenliggende webpagina B.12 worden meetmethoden uiteengezet om geluiddrukniveaus en/of G daadwerkelijk te meten. De juistheid van formule (1) en figuur 1 kan bijvoorbeeld worden nagegaan door een continue bron in een ruimte op te stellen en op een groot aantal mikrofoonpunten het geluiddrukniveau te noteren. Aan de bron moet dan minimaal de eis worden gesteld dat het geleverde akoestische vermogen constant is en bij voorkeur ook de volgende dag (of in een andere ruimte) weer precies op hetzelfde niveau kan worden ingesteld. Als ook G wordt gemeten moet het akoestisch vermogen van de bron niet alleen constant zijn maar ook daadwerkelijk bekend, uitgedrukt in een akoestisch geluidvermogenniveau.

Formule (1) is gebruikt om G af te leiden. De sterkte van het galmveld (de rechter term binnen de haakjes) is daarin gelijk voor alle mikrofoonpunten. Dat blijkt in de praktijk niet het geval en daarom is in B.12 figuur 1 getekend waarin het galmveld daalt met toenemende afstand tussen bron en mikrofoon.

Het is uiteraard mogelijk om weer de continue geluidbron te gebruiken om de afwijkingen van figuur 1 vast te leggen, maar het blijkt ook mogelijk om het geluiddrukniveau en G af te leiden uit nagalmmetingen. De nagalmtijd wordt veelal gemeten op een groot aantal punten in een ruimte en het is een kleine moeite om dan tegelijkertijd het geluiddrukniveau te bepalen; voorwaarde is wel dat de geluidbron geijkt is. In B.12 wordt de methode uiteengezet, hier wordt de methode toegelicht aan de hand van een aantal formules.

 

In veel metingen wordt de responsie van een ruimte gemeten nadat een geluidbron een pulsvormig signaal uitzendt (webpagina B.1.3). Na enige tijd arriveert bij een mikrofoon allereerst het directe geluid, vervolgens komen de reflecties tegen de wanden binnen die voor ons oor worden ervaren als nagalm. Figuur 3 geeft een model dat wordt toegelicht in webpagina "B.11 Nagalmcurven". Daar wordt de aankomst van het directe geluid t_dir genoemd en de start van de nagalm t₀. In de voorgaande webpagina’s (vooral B.6.1) is een wiskundige afleiding gegeven waarbij de geluidenergie van de nagalm uitdooft volgens een e-macht. Als dat wordt uitgezet langs een logaritmische as ontstaat een rechte lijn waaruit de nagalmtijd kan worden afgeleid.

Figuur 3:  De geluidenergie als responsie op een geluidpuls. Volgens de theorie is het galmveld (in blauw) een e-macht. Als die logaritmisch wordt uitgezet ontstaat een dalende rechte lijn die de nagalmtijd representeert.

 

Meestal wordt de pulsresponsie van figuur 3 omgewerkt tot de schroedercurve die ontstaat uit een achterwaartse integratie van de pulsresponsie.  Het is dus zelf ook weer een e-macht, maar simuleert nu dat een continue geluidbron op een bepaald moment (weer t =0 genoemd) wordt uitgeschakeld (webpagina B.1.3). Als we even veronderstellen dat t₀ = 0 kan formule (8) worden afgeleid.

(8)

waarin:

(9)

 

De variabelen in de formules zijn:

t	=	de tijd, verlopen na het uitschakelen van de bron
Lp	=	geluiddrukniveau ter plaatse van de mikrofoon
LW	=	akoestisch vermogenniveau van de gebruikte geluidbron
r	=	afstand tussen bron en ontvanger
RT	=	de gemeten nagalmtijd
A	=	totaal absorberend oppervlak van de ruimte

De linker term binnen de accolades van formule (8) geeft de bijdrage van het directe geluid, de rechter term staat voor de bijdrage van de galm. De variabelen t en r zijn uiteraard direct afhankelijk van elkaar via de geluidsnelheid en één van de twee kan dus eventueel worden geëlimineerd. Dat is hier niet gedaan.

 

De helling van de nagalmcurve hangt niet af van het vermogen van de geluidbron. Als de bron luider wordt schuift de dalende curve in verticale richting maar de helling, en dus de nagalmtijd blijft gelijk. Als het bronvermogen wel bekend is ligt ook de verticale as vast. In figuur 4 zijn twee theoretische schroedercurven getekend (in rood en blauw) als het direct wordt weggelaten en alleen het galmveld wordt getekend. De pulsresponsie wordt geïntegreerd vanaf de rechterzijde. Doordat een logaritme is toegepast ontstaat van rechts naar links een lineair oplopende curve totdat het punt t₀ uit figuur 3 wordt bereikt. Omdat er vóór t₀ geen geluid binnenkomt vertoont de curve uit figuur 4 daar een horizontaal verloop.

Figuur 4:  Schroedercurven voor een zaal met A = 200 m² absorptie en een nagalmtijd RT = 1.0 s. Er zijn drie waarden voor de aankomsttijd van de galmenergie t₀:  0.05 s in rood, 0.1 s in blauw en 0.0 s voor de stippellijn. In het laatste geval verdwijnt de e-macht uit de formule.
De horizontale lijnen aan de linkerzijde suggereren een bron die een continu signaal uitzendt en wordt uitgeschakeld op het tijdstip t = 0. Er wordt dus een methode nagebootst die al rond 1900 door Sabine werd gebruikt.  

 >

Omdat het direct wordt weggelaten kunnen de blauwe en rode curve uit figuur 4 worden geschreven als:

als t < t0

(10a)

dus een constante waarde omdat t₀ vast ligt, en:

als t ≥ t0

(10b)

 

Daarbij is in figuur 4 en de formules G gebruikt langs de verticale as. In bovenstaande hoofdstukken is uitgelegd dat dat simpelweg kan worden bereikt door een waarde L_W = 31.0 in te vullen.

 

Er staat ook nog een stippellijn uitgezet in figuur 4. Daarbij wordt geïntegreerd tot t = 0. Dan verdwijnt de e-macht want t₀ = 0 en er ontstaat een grootheid G₀ die geschreven kan worden als:

(10c)

 

Meettechnisch gezien is dit laatste geval onbestaanbaar, want het betekent dat op een bepaald mikrofoonpunt al galmenergie binnenkomt op het moment dat de bron een signaal uitzendt. Maar G₀ kan dus ook worden bepaald door de galmcurve (dus het gedeelte na t₀ in figuur 4) te extrapoleren naar t = 0. Het voordeel van de bepaling van G₀ is dat er een uiterst simpel verband ontstaat met A. Er zijn dus verder geen geometrische gegevens nodig. In theorie is dat getal gelijk aan de waarde van A die volgt uit de nagalmtijdformule, maar in de bovenliggende webpagina B.12 is een meetuitkomst gegeven waaruit blijkt dat dat soms niet klopt. Daar wordt ook meer informatie gegeven over de toepassing van G₀ [[1]].

 

In de praktijk komen we vier modellen tegen met een verschillende aanpak van t₀ uit de formules (10)

1. t₀ = 0

   Dit is het model van de stippellijn uit figuur 4 en de bijpassende formule (10c). Het betekent  dus dat de nagalm begint op het moment dat de bron geluid uitzendt. De galm arriveert dus vóór het direct en dat kan natuurlijk niet. De e-macht verdwijnt en alleen de grootheid 4/A blijft over.

   %nbsp;

2. t₀ = mfp/c

   De letters mfp staan voor "mean free path" ofwel de gemiddelde vrije weglengte. Dat is een geometrische (geen akoestische) grootheid van de ruimte. Aangenomen wordt dat het galmveld "gemiddeld" binnenkomt na één reflectie. In B.10.1 wordt berekend dat de e-macht in de formule overgaat in de factor (1 – α) zoals die geschreven wordt in formule (1) van de huidige webpagina.
   De consequentie van deze keuze is dat deze factor in gelijke mate geldt voor alle mikrofoonpunten in een ruimte waardoor de horizontale groene lijn ontstaat in figuur 1.
   Formule (10a) gaat dan over in de volgende formule voor een mikrofoonpunt waar t_mfp gelijk is aan de afstand mfp gedeeld door de geluidsnelheid c:

   (11a)

   met:

   (11b)

   %nbsp;

3. t₀ = r/c = t_dir

   Model 2 is een bruikbaar model (beter dan model 1 met t₀ = 0) omdat metingen hebben aangetoond dat de curve daalt met toenemende afstand tussen bron en mikrofoon. Dat brengt ons bij dit derde model geïntroduceerd door Barron (zie webpagina B.10.5) waarin het geluidniveau daalt met toenemende afstand. De grootheid r staat voor de afstand tussen bron en mikrofoon en dit model gaat er dus van uit dat het direct en het galmveld tegelijk arriveren. In figuur 3 geldt dus t_dir = t₀.

    

4. t₀ = r/c = t_dir

   Model 2 is een bruikbaar model (beter dan model 1 met t₀ = 0) omdat metingen hebben aangetoond dat de curve daalt met toenemende afstand tussen bron en mikrofoon. Dat brengt ons bij dit derde model geïntroduceerd door Barron (zie webpagina B.10.5) waarin het geluidniveau daalt met toenemende afstand. De grootheid r staat voor de afstand tussen bron en mikrofoon en dit model gaat er dus van uit dat het direct en het galmveld tegelijk arriveren. In figuur 3 geldt dus t_dir = t₀.

   t₀ > t_dir

   Er ontstaat wat tijdverschil tussen het direct en de start van de galm, hetgeen in de akoestiek de "initial time delay gap" wordt genoemd. Het is uiteraard het meest realistische model maar het probleem is dat er geen sluitende theorie bestaat. Het kan uiteraard wel in numeriek berekende pulsresponsies worden gezien.

    

In figuur 5 wordt een berekend voorbeeld gegeven van het vierde geval. Het is een curve zoals in figuur 4 waaraan het directe geluid is toegevoegd. Er is sterk ingezoomd om het effect te laten zien. De tijden zijn daarom ook gegeven in milliseconden.

Figuur 5:  Een galmcurve (in rood) gecombineerd met direct geluid (in blauw). Zoals in figuur 4 is alleen het absorberend oppervlak nodig: 200 m² voor de berekening van het galmveld, hetgeen leidt tot G₀ = 14.0 dB . De waarde van t₀ = 200 ms is tamelijk willekeurig gekozen.
De mikrofoon staat op 1.5 m, zodat het geluiddrukniveau van het direct gelijk is aan 16.5 dB. Na logaritmische sommering met het galmveld komt het totale geluiddrukniveau bij de mikrofoon op 18.0 dB.

 

Er wordt geïntegreerd door te starten aan het einde van de tijdas, bijvoorbeeld bij t = 2000 ms (2 s). Dan wordt naar links (steeds een kleinere t) gerekend door steeds de energie uit de pulsresponsie erbij op te tellen. Als de grens t₀ wordt bereikt gaat de curve over in een horizontale lijn omdat er vóór t₀ geen energie in de pulsresponsie zit (zie figuur 3). Nog verder naar links schuivend komen we in de pulsresponsie bij t_dir het directe geluid tegen dat gesommeerd wordt (logaritmisch) bij het horizontale stuk, getekend in blauw en nog verder naar links resulteert dat weer in een horizontaal stuk omdat er ook vóór t_dir geen geluid binnekomt.

De afstand tussen bron en ontvanger is 1.5 meter (dat komt overeen met 4.4 ms), waardoor de blauwe ophoging aanzienlijk is. Bij grotere afstanden zakt de blauwe bijdrage snel weg. Dat was ook al te zien in figuur 1, al zijn daar andere beginwaarden gebruikt.      

 

4.2    Een voorbeeld van metingen

De voorgaande paragraaf ging over theoretische modellen. Er zal nu worden getoond of de theorie wordt gesteund door metingen. Figuur 6 toont een meting in een sportzaal. De afstand tussen bron en mikrofoon is slechts één meter waardoor er een zeer duidelijk direct signaal wordt gemeten dat flink luider is dan het galmveld.

 

Figuur 6:  Een pulsresponsie in een zaal met een vloeroppervlak van 48 × 30 m². Het plafond is niet horizontaal; de hoogte varieert van 8.1 tot 10.9 m. De linker figuur toont de responsie over 800 ms (0.8 s), rechts loopt de tijdas tot 200 ms.

 

Het gaat in figuur 6 om de reflecties aan het begin van het echogram. De linker figuur toont daarom de curve tot 800 ms (= 0.8s), in de rechter figuur is nog meer ingezoomd.

Bij een afstand van 1 m tussen bron en mikrofoon is de looptijd gelijk aan 3 ms. Dat is en de figuren te zien als een puls die minder mooi is dan in de theorie. Er zijn een paar oorzaken:

1. Er wordt een bolbron gebruikt met 12 aparte luidsprekers die ieder een wat andere afstand tot de mikrofoon hebben.

2. Het signaal wordt gefilterd, hoe smaller de band, des te breder de piek. Met name in het oktaaf van 125 Hz duurt het directe signaal meerdere milliseconden.

3. Vlak na de hoofdpiek komt een reflectie van de vloer binnen. Bij 1.5 m hoogte van bron en mikrofoon is het verschil t.o.v. het direct ongeveer 6 ms.

 

De eerste reflectie na de vloerreflectie zou binnen moeten komen via het plafond. Probleem is dat het plafond gebogen oploopt van 8.1 tot 10.9 m, dus met looptijden van 38 tot 49 ms tussen bron en ontvanger. Bovendien is het plafond voorzien van absorptiemateriaal, dus als het goed is zou een plafondreflectie nauwelijks zichtbaar moeten zijn. Met wat goede wil is rond 40 ms wat activiteit te bespeuren. De eerste reflectie tegen een (niet-absorberende) wand zou moeten binnenkomen na ongeveer 53 ms. Die is wel duidelijk te zien [[2]].

De groene schroedercurve in figuur 6 lijkt ruwweg wel op de theoretisch curve van figuur 5. Het vlakke stuk tussen 0 en 3 ms spreekt voor zich, daar komt geen energie binnen. Ook tussen 15 en 35 ms zien we een vrijwel horizontaal stuk. Maar de steile afval van figuur 5 wordt tussen 5 en 15 ms niet gevonden; het beeld is nogal rafelig. De afval tussen 35 en 800 ms is vrij netjes, al is de curve minder rechtlijnig dan gehoopt. Maar er is toch een nagalmtijd uit af te leiden met een hoge correlatie. 

 

De blauwe curven van figuur 6 tonen wel een duidelijke initial time dealy gap (tussen 15 en 35) ms volgens model 4 uit de vorige paragraaf. Echter, een meting op 1 m is een speciaal geval. Stel bijvoorbeeld dat de afstand wordt opgehoogd naar 3 m. Dan schuift de looptijd van het direct op naar 9 ms en de amplitude wordt 10 dB lager. Maar met de reflecties (inclusief die van de vloer) gebeurt veel minder. De loopwegen worden wel groter, maar vaak is de toename heel gering. De initial time delay gap sluit zich  dus en het beeld nadert naar model 3.    

 

In de bovenliggende webpagina B.12 is melding gemaakt van het verslag van Jelmer Niesten, waarin twee meetsessies worden getoond (in de figuren 14 en 16) van sportzalen. In beide gevallen blijkt model 3 prima te voldoen. Sterker nog: Jelmer Niesten toont in zijn rapport 13 zalen en allemaal geven  ze hetzelfde beeld. Het is mogelijk dat andersoortige ruimten een ander beeld tonen, maar het is wel duidelijk dat model 3, het model van Barron, een betere voorspeller is van het geluidniveau in ruimten dan de aloude Sabine-Franklin-Jaeger-theorie.  

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---